|
УПРАЖНЕНИЯ
1. Оператор
Тр задан формулой
Ви — — -r-j,
0 <
х <
00
,
dx*'
F (и) — (Аи, и) — 2/ (и), а £ D (А),
( и) — I
11 — 2/
(и).
где р (х) £С Ш [О,
1
]; р (
0
) — 0,р (х) > О, х > О и интеграл
1
, С dx
b w
о
сходится. Область D (Tp) состоит из функций и (х), подчиненных
следующим требованиям: а) и (х) и р ( х) и' {х) Непрерывны на сег
менте [
0
,
1
] и абсолютно непрерывны на любом сегменте |
8
,
11
,
О < ® < I; б) Tpu£Lt (0, 1); в) и (0) = « (1) =0. Доказать, что опе
ратор Тр положительно определенный в пространстве L«(0, 1).
2. Пусть р (х) £Си>
[0, 1]; р (0) = 0, р (х) > 0, * > О,
1
1
С dx
С х dx
\ Р ( х ) ~ С° '
S Р ( х ) <
о
О
Оператор 7\, определим той же формулой, что и в упражнении 1;
за область D (Тр) примем множество функций и (х), удовлетворяю
щих тем же условиям, что и в упражнении
1
, кроме условия
я(0)г=0. Доказать, что оператор Тр положительно определенный
в пространстве L% (0, 1).
3. Описать множество элементов энергетического пространст
ва в упражнениях
1
и
2
.
4. Доказать положительную определенность оператора
Т* 'и = ~ Т х [ ? d i ) ' ° < x s S l >
определенного на множестве функций из упражнения
2
при р (х) =
= хг. Доказать, что нижняя грань оператора равна 1/4.
5. Доказать, что при о > 2 оператор Т л только положителен.
§ 1. Понятие о собственном спектре оператора
Пусть А — линейный оператор в гильбертовом простран*
стве Н. Число X и элемент и называются соответственно соб
ственным числом и собственным элементом оператора
А, если и не есть нулевой элемент пространства Н и
Аи — hi — 0.
(1)
Заметим, что если Н есть, например, пространство Lv то
требование и-ф
0
равносильно тому, чтон(лг)= £
0
.
О
собственном элементе и говорят, что он со о тв е т
с т в у е т собственному числу X. Из уравнения (1) вытекает
формула, позволяющая найти собственное число, если изве
стен соответствующий собственный элемент. Именно, умножив
скалярно обе части уравнения (
1
) на и, получим
{Ап, и) — X || к
||9
= 0,
откуда
II U II’ •
V )
В комплексном пространстве собственные числа, есте
ственно, могут быть как вещественными, так и комплексными.
В вещественном пространстве определено умножение элемен
тов только на вещественные числа; в соответствии с этим
определением в вещественном пространстве следовало бы рас
сматривать только вещественные собственные числа. Но уже
простейшие примеры показывают, что это было бы нецелесо
образно. Так, вещественная квадратная матрица порядка т
порождает линейный оператор в /я-мерном евклидовом про
странстве; собственные числа этого оператора совпадают с
собственными числами его матрицы, которые, как хорошо
известно, могут быть и комплексными. Поэтому мы несколько
расширим определение собственных чисел так, чтобы они
могли быть и комплексными.
Исходя из заданного вещественного гильбертова простран
ства Н, построим комплексное гильбертово пространство И *.
Для этого поступим так: за множество элементов нового про
странства И * примем множество всевозможных формальных
сумм вида <У=н'-]-/н", где / = V — 1, а и', и" £ И. На но
вом множестве введем обычным способом сложение и умно
жение на комплексные числа; эти два действия не выводят
из множества И*, которое теперь можно считать линейным.
Нулевым элементом в нем является элемент 0-|-Я), где О
означает нулевой элемент пространства Н\ вместо 0 -{-10 бу
дем писать просто
0
; вообще вместо и -f-
/0
и
0
lv будем пи
сать и и lv. В Н * введем скалярное умножение по следующему
правилу: если U — u’ -\-lu",
lv", где и', и", v', в "
то
(U, V)* — («', г
0
+ («", г/") + 1 [(«", v’) - («', гЛ».
(3)
Легко видеть, что при таком определении удовлетворены все
аксиомы скалярного умножения в комплексном пространстве,
именно:
A. (С/, V)* = {V , U )*.
Б. (а М + ч и » V)* = «,(£/„ V ) * + ««(£/* Ю *
B. (U, U )* ^ 0 ; при этом (U, U )* = 0 тогда и только
тогда, когда U =
0
.
Оператор А распространим на элементы вида U — n'-\-iu",
где tf, и" £ D (А ) С Н, по формуле
A U = A it -\-lAn".
(4)
При таком новом определении может оказаться, что оператор
А, который первоначально был определен в вещественном
пространстве Н, имеет в И * комплексные собственные числа
X = X'-f -i\"
и соответствующие
собственные
элементы
ti -\-1и"; равенство
A (o' + /и") == (V -j- /X") («'
/и")
равносильно системе равенств
Аи' = XV — Х"я",
Аи" = Х"и' -{- XV'.
1
’
Одному и тому же собственному числу может соответство
вать несколько собственных элементов; если uv щ ,..., ип —
такие элементы, то любая отличная от нулевого элемента
линейная комбинация
П
k—
1
также есть собственный элемент, соответствующий тому же
собственному числу. Сказанное позволяет рассматривать толь
ко линейно независимые собственные элементы, соответствую
щие данному собственному числу, каждый же собственный
элемент можно считать нормированным.
Число линейно независимых собственных элементов назы
вается кр атн о стью (иногда рангом) соответствующего соб
ственного числа. В сепарабельном пространстве кратность
любого собственного числа — конечная или счетная.
Совокупность собственных чисел оператора называется
его собственным спектром.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
