И здан и е второе, стереотипное

ut = \u ;
н | 
= ? ( * ) ,
х = Ху,
. .»> 
х т,
решение
U — о

---

и (лг0( 
t0)
при любом 
t0
0 зависит от значений 
у
(
х
) при 
всех 
х
(т. е. при — оо <
x t
< + оо, 
1 = 1,
2, 
, 
т.
См. 
формулу Пуассона в § 2 гл. 23).
Область зависимости для точки 
х = х 0, t = t0
в случае 
задачи Коши для уравнения (14) с данными при £ = 0 можно 
найти следующим образом: 
построим 
характеристический 
коноид с вершиной в точке дг = дг0> 
t — U
Та область, кото­
рую вырежет из плоскости ^ = 0 «самый широкий» конус 
коноида, и есть область зависимости для точки (jc0, 
t0).
8
. 
Система уравнений
называется 
гиперболической по И. Г. Петровскому,
если 
при любых вещественных 
.........
шт,
одновременно не рав­
ных нулю, полином по X
(st 1 = 1 ,  2
N, 
8
is —
символ Кронекера) имеет только 
вещественные и различные корни.
Для системы (17) можно повторить с небольшими изме­
нениями все, что в пп. 7 и 8 сказано об уравнении (14).
9. 
Рассмотрим (вообще говоря, нелинейную) систему 
N
уравнений для 
N
функций 
щ, . . . , uN:
(17)
(18)
(«о О
Г, г ^ п {; i, s = \ ,
2, 
N).
Пусть для этой системы заданы начальные данные
щ

---

Если 
иы (х )
и F , — достаточно гладкие функции, то при 
t =
О 
можно вычислить все производные от н,- (/, 
х » . . . , х т)
( 1 = 1 ,
2.......... 
N),
входящие в систему (18). Система (19)
называется гиперболической при £ = 0 при начальных дан­
ных (20), если определитель (18), где
dFt
ат 
i
,Г 
д Р “
 
1
1 dtaodx\i ...
имеет только вещественные и различные корни по X.
Гиперболичность в случае линейной системы (19) не за­
висит от начальных данных. Если система (19) гиперболична 
и линейна, то для системы (19) можно ввести понятие фун­
даментальной матрицы (обобщение понятия фундаментального 
решения задачи Коши) и понятие характеристического коноида 
для каждой точки (Ло, 
t0)
(см. [1]).
В самом общем случае системы (18), гиперболичной при 
t =
0 по И. Г. Петровскому, задача Коши (19), (20) кор­
ректна вблизи 
t =
0, т. е. задача Коши единственным образом 
разрешима при достаточно гладких 
u,s
(*), причем решение 
непрерывно зависит от начальных данных & следующем 
смысле: вектор-функции и и> (лг0, 
t0) (to
0, 
tQ
достаточно мало), 
я» =
решающие задачу Коши (19), (20) с на­
чальными данными 
h
W (
x
= 1 ,
2, 3, ...) , стремятся к реше­
нию задачи Коши 
и ( х а, t0)
с начальными данными 
uis (x),
если начальные данные 
(jc) при х -*• 
° ° сходятся с до­
статочным числом производных к 
и,
на любом компакте на 
плоскости.
Доказательство корректности в таком 
общем 
случае 
удается провести с помощью оценки искомого решения в так 
называемых энергетических нормах (см. [8], [6]).
10. 
И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов (см. [5]) называют 
гиперболической систему
т