И здан и е второе, стереотипное

и (Р D
(2 ) 
неравенств
IIм Ik (2) ^
С
|| 
Р
(
D
) 
и
|i a (2), 
||«||i2(a)^ C ||P ( D ) K j i2(S), 
<7>
где С — постоянная, не зависящая от 
и.
(Для оператора Ла­
пласа, например, эти оценки являются простыми следствиями 
неравенства 
К. Фридрихса.) 
Упомянутый выше результат 
Л. Хермандера состоял в доказательстве того неожиданного 
факта, что такие неравенства верны для любого оператора 
с постоянными коэффициентами.
Этот 
факт 
является 
частным случаем общих теорем 
Л. Хермандера о сравнении дифференциальных операторов. 
По определению оператор 
Р ф )
сильнее оператора 
Q(D),
если 
D (Р0) £2 D
(Q0), где 
Р 0
и Q0 — соответствующие мини­
мальные операторы.
Общие соображения (типа теоремы о замкнутом графике) 
показывают, что 
Р
сильнее Q в том и только том случае,
® существует такая постоянная 
С,
что для всех функций 
и С: 
D
(2 ) выполнена оценка
II Qh Ik
(В) <
С 
(
II 
Ри
||£з 
(в) 
- j - 1| 
и
11^ 
(а,), 
(8)
эквивалентная в силу (7) оценке
II 
Qtl
Ik (
2
) 
С'
|| 
Ра
Hio (
2
). 
(9)
Развивая технику интегралов энергии, Л. Хермандер дал 
в 
алгебраических терминах следующее необходимое и доста­

---

точное условие, при котором оценка (9) верна:
| Q ( Q | ^ C S | P ( , ) (5)I, 
0 ° )
где p ( e) (£)— производные многочлена Р(£), и суммирование 
распространяется на все мультииндексы *.
Отсюда следует, в частности, что оператор P (D ) является 
эллиптическим тогда и только тогда, когда он сильнее лю­
бого оператора, порядок которого не выше, чем порядок Р.
В той же работе [13] показано, что для полной непре­
рывности оператора QoPo1 необходимым и достаточным яв­
ляется условие
'
„ р и Е - о о .
( И )
Л. Хермандер доказал также, что если Р и