И здан и е второе, стереотипное

Ет(т~^>
2) фундаментальное 
решение имеет вид
е
(х) = (2 — 
т
)~11 $ Г11 jc ]а- т .
Эта функция, как мы знаем, служит ядром интегрального 
оператора (объемного потенциала), представляющего собой 
частное решение уравнения Д
u = f .
Аналогичную роль играет 
фундаментальное решение общего дифференциального опера­
тора 
P (D ).
Вопрос о существовании такого решения можно 
ставить только в терминах обобщенных функций: хорошо 
известно, что в классе обычных функций даже для простей­
ших уравнений фундаментальное решение может не суще­
ствовать. Преобразование Фурье 
F
приводит уравнение (2) 
к эквивалентному алгебраическому уравнению
Р
(5) 
(Fe)
( ? ) = ! ,

---

где
Р ( * ) = £ a“l.........4 N . . . 5 V
|а| 
^ 1
1 
Ш
Тем самым задача о построении фундаментального^ решения
е
(л:) сводится к построению обобщенной функции 
р-щ
в том
или ином пространстве. Таким путем не только получается 
теорема существования для функции 
е(х ),
но и изучаются 
ее дифференциальные свойства.
Как было упомянуто, зная функцию 
е(х ),
можно построить 
решение неоднородного уравнения
P ( D ) u = f -
( 3)
Кроме того, с помощью этой же функции можно получить 
весьма общий аналог формулы Пуассона, т. е. выразить реше­
ние уравнения
р
(D) 
и = 0
(4)
в любой точке через значения этого решения в некотором 
сколь угодно тонком слое, окружающем точку. Гакие пред­
ставления, в сочетании с информацией о гладкости фунда­
ментального решения и его особенностях, дают один из спо­
собов изучения вопроса о дифференциальных свойствах ре­
шений общих уравнений с частными производными.
3 . 
Г и п о э л л и п т и ч е с к и е
у р а в н е н и я .
Хорошо 
известно, что любое дважды непрерывно дифференцируемое 
решение уравнения Лапласа является в действительности ана­
литической функцией. Аналогичное 
с в о й с т в о с о х р а н я е т с я и 
для любых эллиптических уравнений 
и 
систем с аналитиче­
скими коэффициентами. Как показал И. Г. 
П е т р о в с к и й
[1U], 
аналитичность всех решений 
является характеристическим 
свойством операторов 
э л л и п т и ч е с к о г о
типа. Итак, 
п р о с т о е
«внешнее» свойство уравнения — эллиптичность — оказывается 
эквивалентным глубокому 
и 
значительно менее очевидному 
свойству — аналитичности его решений.
Л. Шварц [24] поставил вопрос об описании более общих 
дифференциальных выражений