И здан и е второе, стереотипное

Fr.k
непрерывны в 2 , то квадратичная форма 
Т
(Ф, ,г0) всюду 
в 2 сохраняет знак. Поэтому если оператор Ф(.г) эллипти­
чен на функции 
z 0
£ С (а) (2), то квадратичная форма Г (Ф, 
2
0) 
всюду в 2 либо положительно, либо отрицательно определен­
ная. Отметим, что оператор Ф (г) на одних функциях из С (s) (2) 
может быть эллиптичен, а на других — нет. Соответствую­
щие примеры будут приведены ниже.
Дифференциальное уравнение
F (x , z, D z, D*z) =
О
называется 
эллиптическим,
если на всех решениях этого 
уравнения оператор Ф (г ) эллиптичен.
Очевидно, что определение эллиптичности, данное для ли­
нейного уравнения § 2 гл. 9, есть частный случай только

---

что введенного понятия эллиптичности общего уравнения 
F {x , z, Dz, D*z) =
0.
Наиболее важными классами нелинейных уравнений яв­
ляются квазилинейные уравнения и уравнения типа Монжа — 
Ампера.
а) 
Квазилинейными уравнениями называются уравнения 
вида
Z.
 
*. 
Dz) =
 0. 
(1)
Эти уравнения линейны относительно вторых производных 
неизвестной функции 
z (x ).
Линейные уравнения есть, оче­
видно, частный случай квазилинейных уравнений.
Квазилинейное уравнение будет эллиптическим, если при 
всех 
x £ Q ,
г £ ( — оо, +
0 0
), 
р £ Р
квадратичная форма 
z, р)Ь£ь
будет определенной во всех точках 2. Как 
мы уже отмечали, квадратичная форма 
A ik(x, z, р)Ь£ь
при любых * £ 2 ,
z, р £ Р
будет сохранять знак. Поэтому 
эллиптичность уравнения (1) будет вытекать из условия, что 
при любых 
jc
, 
z, р
квадратичная форма 
( 2 )
положительно 
(отрицательно) определенная. Можно доказать, что это усло­
вие будет не только достаточным, но и необходимым для 
эллиптичности уравнения (1).
б)