И здан и е второе, стереотипное

(Ъ(х),
/ ( * ) ) = / ( 0 ) ,
где 
f ( x
) — любая функция, непрерывная, например, на от­
резке [— 1, 1]. Итак, 8-функция — это, по определению, 
функционал на С [ — 1, 1], сопоставляющий функции 
f i x )
ее 
значение в точке 0.
Используя идею этого определения, можно ввести обоб­
щенные функции как линейные непрерывные функционалы на 
тех или иных (в том числе более узких, чем 
С)
простран­
ствах. Последние принято называть пространствами основных 
функций. Выбор того или иного пространства основных 
функций зависит от рассматриваемой аналитической задачи.
') К теме настоящего очерка особенно близки монографии [31 
указанной с«рии.

---

Эти пространства — топологические, но не обязательно нор­
мируемые или метрические; часто оказываются удобными так 
называемые счетно-нормированные 
пространства. 
Понятие 
сходимости последовательности основных функций, естественно, 
порождает сходимость в сопряженном пространстве 
про­
странстве обобщенных функций.
В качестве примеров основных пространств приведем 
пространства D ( 2 ) и 
S (E m).
Элементами D (2 ) являются бес­
конечно дифференцируемые в области 2 функции, каждая из 
которых обращается в нуль вне некоторой замкнутой под­
области 2 . В пространство 
S (E m)
входят бесконечно диф­
ференцируемые в 
Ет
функции, которые вместе со всеми 
производными стремятся к нулю при | j c | —*-°о быстрее лю­
бой степени | х | -1. Соответствующие сопряженные простран­
ства обозначаются через 
D'(Q)
и 
S '(E m).
В дальнейшем мы 
будем иметь в виду только эти пространства обобщенных 
функций.
Оператор 
дифференцирования 
определен 
на 
Щ м ) 
и 
S (E m)
и оставляет эти пространства инвариантными, что 
позволяет ввести дифференцирование в пространствах ФУН^* 
ционалов, как сопряженный оператор. Таким образом, все обоб­
щенные функции классов D '( 2 ) и 
S ' (Ет)
оказываются бес­
конечно дифференцируемыми, а оператор дифференцирования 
непрерывным оператором.
Аналогично определяется умножение обобщенной функ­
ции на любую функцию, которая является мультипликатором 
в соответствующем пространстве основных функций ). В част­
ности, обобщенную функцию класса £ )'(2 ) можно умножать 
на любую бесконечно дифференцируемую в 2 функцию, а 
обобщенную функцию класса