И здан и е второе, стереотипное

§ б. Внутренняя задача Неймана
Результаты настоящ его параграфа б у д у т справедливы и 
для внешней задачи Неймана в случае т =  2, так как она 
переводится конформным преобразованием в о внутреннюю за­
да ч у Неймана.
П у ст ь Г — по-преж нему регулярная п оверхн ость, но 2 —
об л а сть, лежащая внутри Г. Задача со ст о и т
в 
определении 
гарм он ической в 2 функции по краевому усл ови ю
В паре пространств ( G ( 5 ) , С ( Г )) внутренняя задача Ней­
мана некорректна уж е потом у, что она не всегда разрешима, 
а реш ение (если о н о су щ е ств у е т) не единственно.
Введем в р ассм отрение пространство 
(Г ), к о т о р о е яв­
ляется п одпространством пространства С (Г ) и определяется 
дополнительным соотнош ением
II11 !(
8
)
(
1
)

---

Если в краевом условии (1 ) 
d ; C-L (Г ), то внутренняя 
задача Неймана разрешима, но не единственным образом; нам 
надо позаботиться о том, чтобы из б е ск о н е ч н о го множества 
решений выбрать одно. Решение внутренней задачи Неймана 
мож но представить (см, § 11 гл. 18) в виде потенциала п р о ­
с т о г о слоя
с непрерывной плотностью ц ( ;) ; за [i($ ) м ож но принять лю 
б о е решение интегрального уравнения
Если т =  2, т о и ( х )  следует представить в виде л ога­
риф мического потенциала; соответствен н о изменится уравне­
ние (4). На последую щ их рассуж дениях э т о не скажется.
Уравнение (4 ) разрешимо, если <]» £ С -Ц Г ), и его решения 
непрерывны. И х бескон ечно много: о д н о р о д н о е уравнение 
имеет одн о линейно независимое реш ение р -о.М ; Если о б о ­
значить какое-либо решение уравнения (4 ) через 
т о
е г о
о б щ е е решение есть
где с — произвольная постоянная. Различным с со о т в е т ст в у ю т
различные решения задачи Неймана. В се эти решения непре­
рывны в 2 .
Мы остановимся на следующ ем с п о с о б е вы бор а п остоя н ­
ной с в формуле (5): потребуем, чтобы в м етрике Ц  (Г ) ф унк­
ция fi(jc ) была ортогональна к р,0 (дг). Э т о дает следую щ ие 
значения с и р . (Jf):
г
(