И здан и е второе, стереотипное

2
)
Ц. = СЭД>,
( 4 )
IIPv.ll ^ г я Ц 'Ы !’ ' V-n = Q^n-
Положим

---

Если обозначить для краткости
т о посл едн ее уравнение запишется короче:
— К р % = —
(от _ 2) | S, j 
^
О п ер а тор со слабой особ ен н остью К  вполне непрерывен 
в С ( Г ) (см. § 4 гл. 7), а последовательность {(а*} ограничена 
(||(1*|=1). В таком случае мож но выделить такую п од п осл е­
довател ьность 
что су щ ествует предел
lira К ^ *к = v*>
О дноврем ен но 
-► 0, и из уравнения (5 ) следует, что [*£*-»■ 
Теперь, переходя в ( б ) к пределу под знаком опера­
т ор а К. найдем, что 
удовл етвор яет од н ор од н ом у инте­
гральному уравнению
ц* — АГр-* = 0. 
(6 )
Уравнение (3 ) имеет единственное решение, значит, с о о т ­
в етствую щ ее одн ородное уравнение (6 ) имеет т о л ь к о триви­
альное решение. Отсюда |х* = 0. С др у гой стороны ,
П олученное противоречие доказы вает, что оператор Q о г ­
раничен. С ущ ествует, следовательно, такая постоянная а, что
М < * 1 Н
(7)
Здесь ц — решение уравнения (3), и норма берется в метрике 
пространства С (Г ).
Из ф ормулы (2 ) следует
I и ( * ) I ^ шах j р. (к]) | ^ p|=-s , * £ &
Последний интеграл есть потенциал п р о с т о г о слоя с непре­
рывной плотностью , равной единице. Т акой потенциал непре­
рывен в о всем пространстве Е т и, к р о м е т о го , равен н ул ю , 
па бескон ечности. Отсюда следует, что упомянутый потенциал
17-1567

---

ограничен:
= c o n s t
В таком случае
|и(д01<Рп»ах|И*М = М!*11<вИН
Беря максимум левой части, получаем окончательно
Т еперь ясно, что при т 
2_внешняя задача Неймана к о р ­
ректна в паре пространств ( 0 ( 2 ) , С(Г)). Д ействительно, о б о ­
значим через R  оператор, которы й переводит функцию iji(jt) 
в ф ункцию н ( х ) — реш ение внешней задачи Неймана. Тогда: 
1 ) о п е р а то р R су щ еств у ет (реш ение единственно); 2 ) он оп­
ределен на всем п ространстве С ( Г ) (реш ение су щ еств у ет для 
л ю бо й непрерывной функции >]»(*)); 3 ) он ограничен как опе­
р а т о р из С (Г ) в G(S5) (неравенство (8)).