И здан и е второе, стереотипное

§ 2. П о л о ж и т е л ь н о оп р ед ел ен н ы е за д а ч и
1. 
П усть 
А
— положительно 
определенный 
оп ер а тор
в ги льбертовом пространстве И. Р ассм отрим уравнение
Л и = / .
(1 )
П остр ои м энергетическое пр остр а н ство Н
а
оператора А  и 
будем искать обобщ енное решение уравнения (1), т. е. эл е­
мент пространства Я д, удовлетворяю щ ий тож деству
[и, 7)] = ( /, Tj), 
V
t
\€
z h a
-
(2 )
Э то реш ение сущ ествует и единственно; таким образом, су щ е ­
ствует оператор R = A~l, действую щ ий из И  в Н
а
и о п р е ­
деленный 
на 
всем 
пространстве 
Н.
Положим 
В\ — Н
а
>
Вч — Н.
Докаж ем, что оператор R ограничен. П усть и — о б о б щ е н ­
ное реш ение задачи (1). П олож ив в тож дестве (2 ) i\ = u, 
получим
|н1'д = (/, К )« s I I /I I - И -
- 
П у сть f 1 — нижняя грань оператора А. Т огда |J к || 
1 м |л- 
П одставив э т о в предыдущее неравенство, получим
|«1л = = 1 * 0 .
11/11-
Э то значит, что
и задача (1), в случае положительно опр ед ел ен н ого оператора 
А,
корректна в паре пространств (Н А, Н ).

---

2. Рассмотрим неск ол ько примеров.
1. П усть 2 ( 2 Ет — конечная область с к у соч н о гладкой 
границей Г. Рассмотрим задачу Дирихле
~ щ { А' к 
+ С W “ = Л * ) > “ !г = 0. 
(3)
Коэффициенты A jk (x ) и С(лг) подчиним обычным условиям 
(см . гл. 14). О ператор 91 задачи (3 ) полож ительно определен­
ный в пространстве Lt (Q), и эта задача корректна в паре 
пространств (Н%, Z .j(2 )). Напомним, что в Н
метрика зада­
ется формулой
2. П усть в уравнении (3 ) C (jc ) ^