И здан и е второе, стереотипное

t 
со
t
О тсю д а
8 “ ( 0 №, (в) < 2 1 9 1 1 , ^ 4 - J- шах
1 ог£/з= т
где а9 = ш а х
(2 ’ Т [ ) ' ^ е Ря максимум левой части, находим
и, следовательно,

---

2. 
З а д а ч а К о ш и . За B t примем пространство ф унк­
ций, непрерывных и ограниченных в Ет, с нормой
||ср|= sup |ср(х)1. 
(5 )
За В\ примем пространство функций, непрерывных и о гр а ­
ниченных в Ет X [0> °°)> с нормой
{и 11! =
sup 
I 
и (X, t)
 |. 
(6)
О
I
Если <р £ S j, т о решение задачи
щ- —
 Ди = 0, 
н|,_,, = ? ( * )
(7 )
в пространстве В\ сущ ествует ( § 3 
гл. 23 ) и единственно 
(§ 4 гл. 20). Э то означает, ч т о оп ер а тор R, которы й п ер е­
водит начальную функцию ср в решение, су щ ествует и о п р е ­
делен на всем пространстве B t. Далее, из формулы П уассон а, 
записанной в виде (3.4) гл. 23:
и (х , t) = K 
2
J <р (jc 
2 1f t
следует
- - с
| и (* , 
t)
| < sup | <р ( г ) | it 
2 \ 
e -& d \ =
sup | 

| = 1 
c(iE m
m
Э то неравенство не нарушится, если заменить в нем л е­
вую часть ее верхней гранью:
||M||, = j|Rf
и, следовательно, ||/?|=^1. Таким обр азом , задача Коши для 
уравнения теплопроводности корректн а в паре п р остр а н ств 
(flj, Bt), в к отор ы х нормы заданы формулами (6 ) и (5).
§ 7. Задачи для волнового уравнения
Мы не будем останавливаться на смешанной задаче для 
вол нового уравнения, кор р ектн ость к о т о р о й исследуется по 
той же схеме, что и для уравнения тепл опроводн ости; ф о р -

---

м улировку и доказател ьство соответствую щ и х утверждений 
мы предоставляем читателю.
Рассмотрим задачу К ош и для в ол н ового уравнения
Введем в качестве 
пространство С (8) (Е т X [0, о о )) функ­
ций, котор ы е при л ю бом х  ^ Ет и любом t 
0 непрерывны 
и ограничены вместе с о своими первыми и вторыми произ­
водными; за норму элемента и э т о г о пространства примем 
величину
За Bt примем п р остр а н ство пар Ф = (^ 0, <р,) с нормой
внутреннее суммирование производится по всевозможным на­
бор а м неотрицательных индексов / „ 1Ь . . . , in ^ m ,  сумма 
к о т о р ы х равна п.
Как обы чно, обозначим через R  оператор, которы й пере­
води т пару Ф начальных функций в решение и (х, t) задачи 
К ош и (1).
И з теоремы единственности для задачи Коши ( § 4 гл. 2 1 ) 
вытекает, что оп ер а тор R  сущ ествует, а из результатов § 1 
гл. 24 — что э т о т о п ер а тор действует из В г в /? , и опр ед е­
лен на всем п р остр а н стве В а. Более т о го , из формулы (1 .6 ) 
гл. 2 4 и из теоремы 23.1.2 вытекает, что R  как оператор 
из Вч в В х ограничен. О тсю да следует, что задача Коши для 
в о л н о в о го уравнения корректна в паре определенных здесь 
п р остр а н ств 5 , и В*.