И здан и е второе, стереотипное

д^и 
дги
.
| 
да
д(3 ~ д х
5 ~
0, 
« I / = о = <Ро(*)> 
-gj 
(5)
при сл ед у ю щ и х предположениях: функции !p0(Jc) и ®
i
(
jc
) 
заданы на сегм ен те 
причем
? » G C w [0, 1], 
С егм ент [О, 1] является областью зависимости для тре­
угол ьни ка Т рис. 48; в этом треугольнике реш ение задачи

---

Коши 
существует, единственно и представимо формулой 
Даламбера (формула (7.5) гл. 24). Из этой формулы легко 
усмотреть, что решение задачи 
(5) к £ С<4) (
Т)
и что назван­
ная 
задача 
корректна 
в паре 
пространств (С<а) (7), fi2), где Ва
есть пространство пар Ф = (<ро> Ti) 
__
с нормой 
О
II ф II = || ср0 
|| ср, II с.
1
). 
Рис. 48.
Та ж е формула Даламбера показывает, что задача (5) не­
корректна, например, & паре пространств (С*й)(7 ), 
Bt)
при 
любом 
к
2.

---

ДОБАВЛЕНИЯ
Д О Б А В Л Е Н И Е !
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
1. 
О п р е д е л е н и е э л л и п т и ч е с к и х с и с т е м . Рас­
смотрим систему 
N
линейных уравнений в частных произ­
водных с 
N
неизвестными функциями 
щ, щ, 
uN
и с 
т
независимыми переменными 
х\, х%, 
х т.
Нашу систему 
можно записать так:
N
2
LJkuk — f j{ x ) ,
/ = 1 , 2, 
N.
(1)
Здесь 
LJk
— некоторые линейные дифференциальные вы­
ражения; 
х ,
как обычно, обозначает точку /я-мерного евкли­
дова пространства с координатами 
х и 
х т.
В дальнейшем нам будет удобнее записывать систему (1) 
в несколько иной форме.
Пусть а,, а8, . . . , ат — целые неотрицательные числа. Упо­
рядоченную совокупность а — (а,, а2, . . . ,
ат)
назовем 
муль~
тииндексолг,
через j а | будем обозначать сумму составляю­
щих мультииндекса а:
а 1 = ai +
ai
+ • • • + аот.
Если £ — /гс-компонентный вектор: £ = (£,, 
Е ), то будем
писать
Положим еще
DkU~ ’J ^ •
А = 1 , 2>• • • >«> 
и 
будем писать также

---

Если порядок дифференциального выражения 
Ljh
равен 
S j k,
то, очевидно, можно написать
L jknk
= 2
^
®
н*‘
M=£S/ft
Введем обозначение
2
A # (х) Da = Ljk
(х, 
D);
(2)
ясно, что 
Ljk (x, D
) есть полином относительно 
D&
. . .
D m.
Теперь систему (1) можно представить в виде
Ljk
(х > D) uk — f j
(-*)> 
J —
2i • • •» ^
*=1
или, если ввести матрицу порядка 
N
L (x , D ) =
|| 
Ljk (x,
D ) ||';* = f
и N -компонентные векторы
U
----
{Ц\*
^-2, • ■ • > » л ) ,
/ = (Л, 
А>
 
• • • > /л')>
— в виде
L {x , D ) u = f ( x ) .
(3)
Обозначим через 
L%(x, D)
так называемую 
главную часть
полиномиальной матрицы 
L {x, D
); она получается, если в 
формуле (2) удержать в левой части только те слагаемые, 
у которы х 1 а | 
= Sjb-
L*k{x, D )—
^
( * ) D"- 
(4)
I “ I = •*■/*
Пусть ? = (?i, 
. . . . &m) — произвольная точка простран­
ства 
E m.
Положим
L%{x,
«) = 2
4 ? ( * ) S e. 
(5)
! “ I = s/*
Система (1) (или (3)) 
называется 
эллиптической по
И.
Г. 
Петровскому
[5] в точке 
х,
если в этой точке

---

определитель D et/.°(jc, 5), где :
L° n ( x, t ) Цъ{ х Л )
L°(x,
*) =
L \ n ( x ,
S) 
Цы( х,
?)
A/Vl (x ’ 
L/fi
(
X,
S) . . .
L%
n
(
X,
I)
обращается в нуль только при ^ — £а =
= Sm = О. Система 
(1) называется эллиптической на некотором множестве, если 
она эллиптична в каждой точке этого множества.
Легко видеть, что в случае одного уравнения второго 
порядка определение эллиптичности по И. Г. Петровскому 
совпадает с определением § 2 гл. 9.
Более общее определение эллиптической системы дано в 
статье [H i-
Fi р и м е р 1. Уравнение
Д"« 
= / ( х ) ,
О)
ГЛ6ь? 
оператор Лапласа, 
ап
— натуральное число, эллиптическое 
по 
И. I. 
Петровскому. Действительно, в данном случае 
N 
—
1, 
мат­
рица (6) сводится к одному элементу
Lh
(*- 9 = i n (•*, £) = (;! + £! + ... + е*,)",
и ^ясно, что последнее выражение обращается в нуль лишь при 
м — 5* — •.. =
ьт
= 0.
П р и м е р 2. Система уравнений статической теории упругости 
имеет вид 
1
д 
и
-J- u grad di v 
и
= / (л-). 
(8)
Здесь 
и
= (ы„ « „ ..., 
йт)
и 
f —
(
f lt f s,
. . . ,
f m) —
/я-компонентные 
векторы, 
и> -I
численный параметр. Матрица (6) в данном случае 
имеет вид
S* + “ Sf- 
“Si?« 
...
“ 5 А
P + «5S ... 
“ 5s5m
“ 'mSi
здесь обозначено 5* = £f + SI + • • • + ?£,•
Определитель последней матрицы вычисляется просто; он равен
(1 + «о)*"».
Отсюда ясно, что система (8) эллиптична при всех значениях пара­
метра 
ш,
за исключением ы = — I.

---

Е сл и зам ен и ть 
f ( x )
на 
<л/(х),
то при о> = оо получаем си стем у 
g rad d iv
и = f ( x ) .
О на н е эллиптична: для нее о п редели тель матрицы (6) есть то ж д ест­
венны й нуль. М ожно ск азать поэтому* ч то систем а уравнен ий ста­
тической теории уп ругости элли п тична при всех зн ачен и ях п ар а­
м етра <о, за исклю чением значений щ = — 1 и oi = co.
2. 
П о с т а н о в к а к р а е в о й з а д а ч и . У с л о в и е д о ­
п о л н и т е л ь н о с т и . Если размерность пространства