2-xulosa.
Oldindan hisoblangan
y
i
yechimdan foydalanib
y
i
+1
toʻr
yechimni topish uchun quyidagi geometrik shakl yasashlarni bajarish lo-
zim:
a)
x
i
tugun orqali ordinata oʻqiga parallel
l
(
i
)
toʻgʻri chiziq oʻtkazamiz;
b) bu toʻgʻri chiziqda berilgan differensial tenglama yechimining
grafigiga shu nuqta orqali oʻtuvchi urinma kesmalarining har bir
nuqtasidan yoʻnalishlar maydonini hosil qilamiz;
c) (
x
i
-1
,
y
i
-1
) nuqta orqali
l
toʻgʻri chiziqni shunday oʻtkazamizki, u
l
(
i
)
toʻgʻri chiziqni kesib oʻtsin va bu kesishish nuqtasiga oʻtkazilgan
urinma bilan ustma-ust tushsin.
Bu kesishish nuqtasining ordinatasi
y
i
toʻr yechimni beradi, (
x
i
-1
,
y
i
-1
)
nuqta va kesishish nuqtasi orqali oʻtkazilgan
l
toʻgʻri chiziq esa (1)-(2)
Koshi masalasining izlanayotgan yechimi grafigiga [
x
i
-1
,
x
i
] kesmada ya-
qinlashuvchi siniq chiziqning boʻlagini beradi.
6-izoh.
Yuqorida tavsiflangan Eyler
usullari nafaqat bitta differensial tengla-
ma bilan yozilgan Koshi masalasi uchun,
balki
n
ta xuddi shunday tenglamalar
sistemasi bilan yozilgan quyidagi Koshi
masalasi uchun ham oʻrinli:
8-rasm.
(
y
k
)
(
x
) =
f
k
(
x
,
y
1
(
x
),
y
2
(
x
), …,
y
n
(
x
)) ,
x
0
x
x
0
+
L
,
k
= 1,2, …,
n
,
y
k
(
x
0
) =
k
,
k
= 1,2, …,
n
.
Bu holda Eylerning oshkor usuli quyidagi munosabatlar bilan beriladi:
y
1,0
,
y
2,0
, …,
y
n
,0
- berilganlar,
y
k
,
i
+1
=
y
k
,
i
+
hf
k
(
x
i
,
y
1,
i
,
y
2,
i
, …,
y
n
,
i
),
k
= 1,2, …,
n
,
i
= 0,1, …,
N
–1,
Eylerning oshkormas usuli esa quyidagi munosabatlar bilan beriladi:
y
1,0
,
y
2,0
, …,
y
n
,0
- berilganlar,
y
k
,
i
=
y
k
,
i
-1
+
hf
k
(
x
i
,
y
1,
i
,
y
2,
i
, …,
y
n
,
i
),
k
= 1,2, …,
n
,
i
= 1,2, …,
N
,
bu yerda
y
k
,
i
– nomaʼlum
y
k
funksiyaning
x
i
tugundagi toʻr boʻyicha yaqin-
lashuvchi miqdori.
Bu formulalarni qaytadan yozib oʻtirmaslik ham mumkin edi. Buning
uchun (12) va (21) formulalarda asosiy belgilashlarni vektor shaklida
yozish yetarli boʻlardi.
1-misol.
Quyidagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi bilan
berilgan Koshi masalasi uchun Eylerning oshkor va oshkormas hisob for-
mulalarini yozing:
14
y
1
(
x
) =
y
1
2
(
x
) +
y
2
2
(
x
) ,
y
2
(
x
) =
y
1
(
x
)
y
2
(
x
) , 0
x
1,
y
1
(0) =
y
2
(0) = 1.
Yechish.
Eyler oshkor usulining hisob formulalari quyidagicha:
y
1,0
=
y
2,0
= 1.
y
1,
i
+1
=
y
1,
i
+
h
((
y
1,
i
)
2
+ (
y
2,
i
)
2
) ,
i
= 0, 1, …,
N
–1, (22)
y
2,
i
+1
=
y
2,
i
+
h
(
y
1,
i
y
2,
i
) ,
i
= 0, 1, …,
N
–1 . (23)
Bu hisob formulalari boʻyicha bajarilgan hisoblashlarda
i
boʻyicha sikl
bajariladi:
x
i
tugundagi
y
1,
i
va
y
2,
i
toʻr yechimlar topilgandan keyin
i
ning
qiymatida (22) va (23) hisob formulalari boʻyicha navbatdagi
x
i
+1
tugund-
agi
y
1,
i
+1
va
y
2,
i
+1
toʻr yechimlar topiladi.
Eyler oshkormas usulining hisob formulalari quyidagicha:
y
1,0
=
y
2,0
= 1.
y
1,
i
=
y
1,
i
-1
+
h
((
y
1,
i
)
2
+ (
y
2,
i
)
2
) ,
i
= 1, 2, …,
N
, (24)
y
2,
i
=
y
2,
i
-1
+
h
(
y
1,
i
y
2,
i
) ,
i
= 1, 2, …,
N
. (25)
Bu hisob formulalari boʻyicha ham bajarilgan hisoblashlarda
i
boʻyicha sikl bajariladi:
x
i
-1
tugundagi
y
1,
i
-1
va
y
2,
i
-1
toʻr yechimlar topil-
gandan keyin
i
ning qiymatida (24) va (25) hisob formulalari boʻyicha
navbatdagi
x
i
tugundagi
y
1,
i
va
y
2,
i
toʻr yechimlarga nisbatan ikkita skalyar
tenglamalar sistemasi yechiladi va ulardan shu yechimlar topiladi.
7-izoh.
Bu bajarilgan mashq asosida shu narsa ayonki, Eyler oshkor-
mas usulining har bir qadami Eyler oshkor usulining qadamiga nisbatan
kattaroq hajmdagi hisoblashlarni talab qiladi, shuning uchun oshkormas
holda oshkor formulalarga nisbatan skalyar tenglamalar sistemasini
yechishning murakkab prosedurasini qoʻllash talab qilinadi, bu esa oʻz
navbatida maʼlum bir qiyinchiliklarni tugʻdiradi. Ammo bunday tezkor
xulosaga kelish yaramaydi. Gap shundaki, Koshi masalasining talab qilin-
gan aniqlikdagi taqribiy yechimini topishning hisoblash ishlari umumiy
hajmi nafaqat algoritm qadamlarining qiyinligi, bilan balki ulaning qadam-
lari soni bilan ham aniqlanadi. Shunday sistemlar (masalan, «qat’iy» dif-
ferensial tenglamalar sistemasi) mavjudki, uning toʻr yechimlarini yetarli
aniqlikda topish uchun oshkor usul boʻyicha hisob toʻrining qadamini juda
ham kichik qilib olish talab qilinadi, oshkormas usuldan foydalanilganda
esa aniq yechimga yanada yaqinroq boʻlgan taqribiy natijani toʻrning kat-
taroq qadamlarida ham olish mumkin. Bu holda oshkormas usul hisob
qadamlarining soni kamligi sababli umumiy arifmetik amallar soni kam
boʻladi.
15
4. Eyler oshkor usulining yaqinlashishi
Faraz qilaylik,
y
(
x
i
) – yuqoridagi (1)-(2) Koshi masalasining
x
i
tugundagi yechimi,
y
i
– Eylerning oshkor usuli bilan topilgan shu tugund-
agi toʻr yechimi boʻlsin. Ushbu
i
=
y
(
x
i
) –
y
i
,
i
= 0, 1, …,
N
(26)
miqdor toʻr yechimning
x
i
tugundagi
xatoligi
, ushbu
i
=
y
(
x
i
) –
y
i
,
i
= 0, 1, …,
N
(27)
miqdor toʻr yechimning
x
i
tugundagi
absolyut xatoligi
deb ataladi.
Shunday savol tugʻiladi, toʻr qadami nolga intilganda (27) miqdorlar
ham nolga intiladimi:
h
0 da
0
max
,...,
1
,
0
i
N
i
, (28)
yani toʻr cheklanmagan holda maydalashtirilib borilsa bu miqdorlar nolga
intiladimi?
Bu savolga javob berish uchun avvalo (1) tenglamaning oʻng tarafi-
dagi
f
funksiyaga shunday qoʻshimcha shart qoʻyishimiz lozimki, bu
tenglamaning bizga kerakli boʻlgan yechimi [
x
0
,
x
0
+
L
] kesmada mavjud,
yagona va silliq boʻlsin. Aynan shunday deb oʻylaylikki,
f
funksiya
x
,
y
oʻgaruvchilar juftligi tekisligidan
x
0
x
x
0
+
L
tengsizlik bilan olingan
kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida nafaqat uzluksiz, balki bu kenglikda
chegaralangan boʻlishi ham lozim:
f
(
x
,
y
)
M
1
, barcha
x
[
x
0
,
x
0
+
L
] va
y
R
lar uchun. (29)
Bundan tashqari, oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizlik talabini qoʻyish
bilan birga biz tenglamaning oʻng tarafidagi
f
funksiya hosilasining ham
shu kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizligini talab qilib qoʻygan
boʻlamiz:
f
x
(
x
,
y
)
M
2
, barcha
x
[
x
0
,
x
0
+
L
] va
y
R
lar uchun. (30)
f
y
(
x
,
y
)
M
3
, barcha
x
[
x
0
,
x
0
+
L
] va
y
R
lar uchun. (31)
(29)-(31) formulalardagi
M
1
,
M
2
,
M
3
oʻzgarmaslar kenglikning barcha
nuqtalari uchun bir xil chekli haqiqiy sonlar.
Faraz qilaylik,
y
i
,
y
i
+1
– Eylerning oshkor usuli bilan
x
i
,
x
i
+1
tugun-
larda topilgan toʻr yechimlar,
y
(
i
)
– (1) differensial tenglamaning grafigi (
x
i
,
y
i
) nuqtadan oʻtuvchi yordamchi yechimlari (yaʼni (15)-(16) Koshi masa-
lasining yechimlari) boʻlsin.
y
(
i
)
yordamchi yechimning
x
i
+1
tugundagi
y
(
i
)
(
x
i
+1
) qiymati uchun toʻr
yechimning ushbu
i
+1
=
y
(
x
i
+1
) –
y
i
+1
xatolik formulasidan foydalanib, xatolikni quyidagicha:
16
i
+1
= (
y
(
x
i
+1
) –
y
(
i
)
(
x
i
+1
))+
+(
y
(
i
)
(
x
i
+1
) –
y
i
+1
),
yaʼni uni ikkita qoʻshi-
luvchilar yigʻindisi shaklida
yoza olamiz:
)
2
(
1
)
1
(
1
1
i
i
i
, (32)
bunda
)
(
)
(
1
)
(
1
)
1
(
1
i
i
i
i
x
y
x
y
, (33)
1
1
)
(
)
2
(
1
)
(
i
i
i
i
y
x
y
. (34)
9-rasm.
(33) va (34) formulalardagi qoʻshiluvchilarning maʼnosini ochaylik.
Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usuli algoritmining qara-
layotgan qadami [
x
i
,
x
i
+1
] kesmada izlanayotgan
y
yechim grafigining
boʻlagini
y
(
i
)
yordamchi yechim grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagi bilan
almashtirishdan iborat. Bu jarayon quyidagi ikki bosqichda amalga oshiri-
ladi:
1) izlanayotgan
y
yechim grafigi
y
(
i
)
yordamchi yechim grafigi bilan
almashtiriladi, natijada izlanayotgan
y
(
x
i
+1
) yechim oʻzining
)
(
1
)
(
i
i
x
y
yordamchi yaqinlashishiga (33) xatolik bilan almashtiriladi;
2)
y
(
i
)
yordamchi yechim grafigi unga oʻtkazilgan urinma – sodda
toʻgʻri chiziq bilan almashtiriladi, natijada
)
(
1
)
(
i
i
x
y
yaqinlashish
qoʻshimcha (34) xatolik bilan
y
i
+1
yaqinlashishga almashtiriladi.
Yordamchi yechimni uning grafigiga oʻtkazilgan urinmasi orasidagi
xatolikni ifodalovchi (34) qoʻshiluvchi algoritmning (
i
+1)-chi qadamidagi
qoʻshimcha xatolikni ifodalaydi. Shuning uchun u (
i
+1)-
chi qadamidagi
yoʻl qoʻyilgan lokal xatolik
, boshqacha aytganda, (
i
+1)-
chi qadamning lo-
kal xatoligi
deb ataladi.
(33) qoʻshiluvchining kelib chiqish maʼnosi esa boshqacharoq, yaʼni u
oldingi
x
i
tugundagi
y
i
- toʻr yechim
y
(
x
i
) - aniq yechimdan farq qilishidan
kelib chiqadi (agar bu qiymatlar mos tushganda edi, u holda
y
(
i
)
– yordam-
chi yechim yechimning yagonaligi haqidagi teoremaga koʻra izlanayotgan
y
yechim bilan mos tushgan boʻlar edi va (33) qoʻshiluvchining qiymati
nolga aylanardi). Shunga koʻra
y
i
va
y
(
x
i
) miqdorlar orasidagi farq algorit-
mning oldingi qadamida yoʻl qoʻyilgan lokal xatolikdan kelib chiqadi,
shuning uchun (33) xatolik (
i
+1)-
chi qadamning jamlangan xatoligi
deb
ataladi.
8-izoh.
Algoritmning birinchi qadamida, yaʼni oldindan berilgan
y
0
qiymat asosida
y
1
toʻr yechimni topishda urinma aslida izlanayotgan
17
yechimga oʻtkazilgan boʻladi (6-rasm), chunki bu holda jamlangan xatolik
yoʻq va
x
1
tugundagi
1
– toʻr yechimning toʻla xatoligi birinchi qadamn-
ing
)
2
(
1
lokal xatoligi bilan mos tushadi. Keyingi qadamdan boshlab esa,
umumiyroq qilib aytganda, uhar ikkala xatolik noldan farq qilib boshlaydi.
Aynan ikkinchi qadamda ham
)
2
(
2
- lokal xatolik va ham
)
1
(
2
- jam-
langan xatolik birincha qadamda yoʻl qoʻyilgan
y
1
toʻr yechimning
y
(
x
1
)
aniq yechimdan farqi boʻlgan lokal xatolik hisobiga paydo boʻladi,
shuning uchun
y
(1)
yordamchi yechim izlanayotgan
y
yechimdan farq qilib
boshlaydi.
Xuddi shunday, uchinchi qadamda, umuman aytganda, nolinchidan
boshqalarida, ham
)
2
(
3
- lokal xatolik va ham
)
1
(
3
- jamlangan xatolik
x
2
tugundagi
y
2
tor yechimning
y
(
x
2
) aniq yechimdan farqi hisobiga paydo
boʻladi, yaʼni
y
2
tor yechimning xatoligi
)
2
(
2
)
1
(
2
2
.
Bu yerdagi ikkinchi qoʻshiluvchi lokal xatolik boʻlib, ikkinchi qadamda
yoʻl qoʻyilgan, birinchisi esa ikkinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan jamlangan
xatolik (bu xatolik birinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan
)
2
(
1
- lokal xatolik
hisobiga paydo boʻlgan). Shuning uchun uchinchi qadamdagi jamlangan
xatolikni algoritmning oldingi birinchi va ikkinchi qadamlarida yoʻl
qoʻyilgan lokal xatoliklarning natijasi deyish mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |