Samarqand davlat universiteti birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni bir qadamli sonli



Download 2,69 Mb.
Pdf ko'rish
bet14/24
Sana02.04.2022
Hajmi2,69 Mb.
#524946
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   24
Bog'liq
AbdirashidovA.BirinchitartibliODTlarnibirqadamlisonliusullaryordamidayechishUK2018

 
1-misol.
Ushbu 
1
x
2y
y
2




,
y
(0) = 1 
Koshi masalasining [0; 1] kesmadagi sonli yechimini Eyler usuli bilan top-
ing. 
Yechish. 
Bunda 
n
= 10 deb olamiz, u holda
h
=(1-0)/10 = 0,1. 
Berilgan differensial tenglamani kanonik koʻrinishda yozib olamiz: 
2
x
-
2y
1
)
,
(
y




y
x
f
Boshlangʻich nuqta: 
x
0
= 0,
y
0
= 1. 
Dastlabki 
x
1
nuqta uchun hisoblashlar: 
1,3
3
1
,
0
1
)
0
1
2
(1
0,1
1
1)
f(0;
1
,
0
1
)
y
;
f(x
h
y
y
2
0
0
0
1
















x
1

x
0

h
= 0 + 0,1 = 0,1 
Keyingi 
x
2
nuqta uchun hisoblashlar 
2
,
0
1
,
0
1
,
0
x
x
1,659
59
,
3
1
,
0
3
,
1
0,01)
2,6
(1
0,1
1,3
f(0,1;1,3)
0,1
1,3
)
y
;
f(x
h
y
y
1
2
1
1
1
2




















h
Yana qolgan sakkizta nuqta uchun xuddi shunday hisoblashlarni baja-
rishimiz mumkin, chunki, 
n
= 10 deb tanlab olingan. 
 
Maple dasturida Eyler usuli bilan olingan natijalar (11-rasm): 
 



 
 
Agar aniqlikni yanada oshirish lozim boʻlsa, u holda: 
;
50
,
,
1
,
1
)
0
(
,
)
(
2
1
)
(
2














numsteps
plot
output
t
y
t
t
y
t
y
dt
d
Euler


36 
 
11-rasm.
 
Maple dasturida Eyler usuli bilan olingan natijalar grafigi. 
 
2-misol.
Quyidada keltirilgan Koshi masalasini takomillashtirilgan 
Eyler usuli bilan yechish. 
Yechish.
Koshi masalasi 
y
' - 2

y

x
2
= 1,
x

[0;1], y(0) = 1. 
Faraz qilaylik,
n
= 10 ,
h
= (1 - 0)/10 = 0,1. 
Boshlangʻich nuqta 
x
0
= 0, 
y
0
= 1. 
Dastlabki nuqtani hisoblash.
 
1
,
0
x
1,32975
)
0,05
1,15
2
(1
0,1
1
1,15)
f(0,05;
0,1
1
))
0
-
1
2
(1
0,05
1
f(0,05;
0,1
1
1))
f(0;
2
1
,
0
1
;
2
0,1
f(0
0,1
1
))
y
;
f(x
2
h
y
;
2
h
f(x
h
y
y
0
1
2
2
0
0
0
0
0
1
































h
x
Keyingi 2, 3, ... ,10 nuqtalar uchun hisoblashlar xiddi shunday. 
3-misol. 
Yuqoridagi 2-misolda keltirilgan Koshi masalasini 4-tartibli 
Runge-Kutta usuli bilan yechish. 
Yechish.
Koshi masalasi 
y
' - 2

y

x
2
= 1,
x

[0;1],
y
(0) = 1. 
Faraz qilaylik,
n
= 10 ,

= (1 - 0)/10 = 0,1. 
Boshlangʻich nuqta
x
0
= 0, 
y
0
= 1. 
Dastlab C
0
, C
1
, C
2
, C
3
larning qiymatlarini hisoblab olamiz:
 
3,65545
0,1
1,332725
2
1
1,332725)
f(0,1;
)
K
h
y
h;
f(x
C
3,32725
0,05
1,164875
2
1
1,164875)
f(0,05;
)
2
K
h
y
;
2
h
f(x
C
3,2975
0,05
1,15
2
1
1,15)
f(0,05;
)
2
K
h
y
;
2
h
f(x
C
3
0
1
2
1
1)
f(0;
)
y
;
f(x
C
2
2
0
0
3
2
1
0
0
2
2
0
0
0
1
2
0
0
0







































37 
3,65545
0,1
1,332725
2
1
1,332725)
f(0,1;
)
K
h
y
h;
f(x
C
3,32725
0,05
1,164875
2
1
1,164875)
f(0,05;
)
2
K
h
y
;
2
h
f(x
C
3,2975
0,05
1,15
2
1
1,15)
f(0,05;
)
2
K
h
y
;
2
h
f(x
C
3
0
1
2
1
1)
f(0;
)
y
;
f(x
C
2
2
0
0
3
2
1
0
0
2
2
0
0
0
1
2
0
0
0





































12-rasm. ODTni 1-tartibli Eyler usuli bilan yechish algoritmi. 


38 
Dastlabki nuqtani hisoblash:
 
67
1,33174916
3,65545)
3,32725
2
3,2975
2
(3
6
0,1
1
)
C
C
2
C
2
(C
6
h
y
y
3
2
1
0
0
1

















Keyingi 2, 3, ... ,10 nuqtalar uchun hisoblashlar xiddi shunday. 
13-rasm. Takomillashtirilgan Eyler usulining algoritmi. 
 
14-rasm.4-tartibli Runge-Kutta usulining algoritmi. 
4-misol.
Ushbu
у
х
у
у
2



oddiy differensial 
tenglamaning [0,1] 
kesmada olingan va 
y
(0)=1 boshlang`ich shartni qanotlantiruvchi
y
(
x

М_Eiler 

Kiritiladigan ma'lumotlar: 
h - qadam 
x – joriy nuqtaning koordinatasi 
y – funksiyaning tugundagi qiymati 
c
0
=f(x,y) 
с
1
=f(x+h/2,y+h/2

c
0

y=y+c
1

x=x+h 

Chiqish 

Chiqariladigan ma'lumotlar: x – 
tugunning koordinatasi; y –
funksiyaning shu tugundagi qiymati 


39 
yechimining taqribiy qiymatlarini Eyler usuli yordamida 
h
=0,2 qadam bi-
lan toping. 
Yechish:
2
,
0
,
1
,
0
,
1
,
0
;
2
)
,
(
0
0







h
y
x
b
a
y
x
y
y
x
f
quyidagi hisoblash jadvalini tuzamiz. 
1-qator .
i=0
,
0000
,
1
,
0
0
0


y
x
2000
,
1
2
,
0
1
;
0
,
2000
,
0
1
*
2
,
0
)
,
(
000
,
1
1
0
*
2
1
2
)
,
(
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0




















y
y
y
i
y
y
y
y
x
hf
y
y
x
y
y
x
f
i
i
i
2-qator. 
i=1
,
;
2000
,
1
;
2
,
0
2
,
0
0
1
1




y
x
3733
,
1
1733
,
0
2
,
1
1733
,
0
8667
,
0
*
2
,
0
)
,
(
8667
,
0
2
,
1
2
,
0
*
2
2
,
1
2
)
,
(
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1













y
y
y
y
x
hf
y
y
x
y
y
x
f


 
i=2,3,4,5 lar uchun hisoblanadi. 

x
i
 
y
i
 
f
(
x
i
,
y
i


y
i

0,1 
1,0000 
1,0000 
0,200 

0,2 
1,2000 
0,8667 
0,1733 

0,4 
1,3733 
0,7805 
0,1561 

0,6 
1,5294 
0,7458 
0,1492 

0,8 
1,6786 
0,7254 
0,1451 

1,0 
1,8237 
 
 
 
6. Koshi masalasi va chegaraviy masalani bir qadamli sonli
usullar bilan Maple dasturi yordamida yechish
Oddiy differensial tenglamani Maple dasturida dsolve komandasi 
yordamida sonli yechish va uning yechimi grafigini odeplot komandasi 
yordamida qurish.
Differensial tenglama (Koshi masalasi yoki chegaraviy masala)ning 
sonli yechimini topish uchun 
dsolve
komandasida 
type=numeric 
(yoki 
sodda qilib 
numeric
) parametrni koʻrsatish kifoya. Bunday holda 
differensial tenglamani yechish komandasi quyidagicha boʻladi: 


40 
dsolve(eq, vars, type=numeric, options), 
bu yerda 
eq 
– tenglama; 
vars
– nomaʼlum funksiyalar roʻyxati; 
options
– 
Differensial tenglamani sonli yechishni koʻrsatuvchi parametrlar.
Maple
da quyidagi usullar ishlab chiqilgan:

method=rk2
–Runge-Kuttaning 2-tartibli usuli; 

method=rk3
–Runge-Kuttaning 3-tartibli usuli; 

method=rk4
–Runge-Kuttaning 4-tartibli klassik usuli

method=rkf45

jimlik qoidasi bilan oʻrnatilgan Runge-Kutta-
Felbergning 4-5-tartibli usuli;

method=dverk78
–Runge-Kuttaning 7-8-tartibli usuli; 

method=classical
– Runge-Kuttaning 3-tartibli klassik usuli; 

method=gear
– Girning bir qadamli usuli; 

method=mgear
– Girning koʻp qadamli usuli. 
Differensial tenglama sonli yechimining grafigini qurish uchun ushbu 
odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2) 
komandadan 
foydalanish 
mumkin, 
bu 
yerda 
funksiya 
sifatida 
dd:=dsolve({eq,cond}, y(x), numeric)
– sonli yechish komandasidan foy-
dalanil-gan, bundan keyin esa kvadrat qavsda oʻzgaruvchi va nomaʼlum 
funksiya 
[x,y(x)]
hamda grafik qurishning intervali 
x=x1..x2 
kabi 
koʻrsatilgan. 
Muammoni oydinlashtirishni mashqlarda bajarib koʻraylik va quyidagi 
tadbiqlarni bajaraylik: 
 
1-misol
.
Quyidagi Koshi masalasining sonli va taqribiy yechimini 6-
tartibli darajali qator koʻrinishida toping:
x
y
x
y
sin
1
,
0
)
sin(
'




1
)
0
(


y

Yechish:
Avvalo Koshi masalasining sonli yechimini topamiz, keyin 
esa topilgan yechimning grafigini quramiz: 
> restart; Ordev=6: 
> eq:=diff(y(x),x)+x*sin(y(x))= -0.1sin(x):
> cond:=y(0)=-1: 
> de:=dsolve({eq,cond},y(x),numeric); 
de
:=proc(
rkf45_x
)...end proc 
Eslatma
: Natijani chiqarish qatorida 
rkf45
usuldan foydalanilganlik 
haqida maʼlumot chiqadi. Agar satr kerakli maʼlumot bermasa, bu oraliq 
komandani ikki nuqta qoʻyish bilan ajratib qoʻyish lozim. Agar 
x
ning 
biror fiksirlangan qiymati uchun natija olish (masalan, yechimning shu 


41 
nuqtadagi hosilasi qiymatini chiqarish) zarur boʻlsa, masalan,
х
=0.5 
nuqtada, u holda quyidagilar teriladi (15-rasm): 
> de(0.5); 
> with(plots):
> odeplot(de,[x,y(x)],-10..10,thickness=2); 
Endi Koshi masalasining yechimini darajali qator koʻrinishida to-
pamiz hamda sonli yechim va olingan darajali qatorning grafigini ular 
mosroq tushishi mumkin boʻlgan interval uchun yasaymiz (16-rasm).
> dsolve({eq, cond}, y(x), series); 
> convert(%, polynom):p:=rhs(%): 
> p1:=odeplot(de,[x,y(x)],-2..2, thickness=2, 
color=black): 
> p2:=plot(p,x=-2..2,thickness=2,linestyle=3, 
color=blue): 
> display(p1,p2); 
15-rasm. Koshi masalasi sonli 
yechimining grafigi. 
16-rasm. Koshi masalasining aniq 
va darajali qator bilan taqribiy 
yechimlarining grafigi. 


42 
Yechimning darajali qator bilan juda yaqin qiymatlari 

2 < 

< 2 
oraliqda ekanligi grafikdan koʻrinib turibdi (14-rasm). 
Differensial tenglama sonli yechimini grafik koʻrinishda ifodalashning 
Maple dasturidagi Detools paketi. 
Koshi masalasini sonli yechish, yechimning grafigini qurish va 
fazoviy portretini chizish uchun 
Mapl
da maxsus paket 

Download 2,69 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   24




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish