Samarqand davlat universiteti birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni bir qadamli sonli

2-misol. 
Eyler modifikatsiyalangan usuli
(55) ning geometrik 
maʼnosini tushuntiring. 
Yechish. 
Shunday savol tugʻiladi: (54) va (55) usullarning Eylerning 
oshkor usulidan nima ustunligi bor? Bunga javob quyidagicha: Eylerning 
toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari 
h

0 da toʻr yechimning dif-
ferensial masala yechimiga tezroq yaqinlashishini taʼminlaydi. Bu usullar 
shunday xossaga ega boʻlishining sababi bu Eylerning oshkor usuliga nis-
batan ularning lokal xatoligi algoritm qadamlarida 
h
qadam boʻyicha 
yuqori tartibli kichiklikka egaligida. 
Bundan kelib chiqadiki, bu dalil faqat yetarlicha silliq yechimlar 
uchungina oʻrinli. Shuning uchun biz bundan keyin differensial 
tenglamaning oʻng tarafidagi 
f
funksiyaga qoʻshimcha shartlar qoʻyamiz, 
bunda faraz qilamizki, nafaqat 
f
funksiya, balki uning birinchi tartibli hosi-
lalari 
f
x

, 
f
y

, hamda uning ikkinchi tartibli hosilalari 
f
xx

, 
f
xy

,
 f
yy

ham 
x
, 
y
oʻgaruvchilarga nisbatan uzluksiz va chegaralangan boʻlsin; bu hosilalarn-

---

26 
ing chegaralanganlik shartini bajaruvchi oʻzgaruvchilarni mos ravishda 
M
4
, 
M
5
, 
M
6
deb belgilaylik. 
5-lemma.
Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi 
)
2
(
1

i

quyidagi 
baholashni qanoatlantiradi: 
3
)
2
(
1
h
M
i




,
i
=0,1,…,
N
-1, (58) 
bu yerda 
M
– chekli oʻzgarmas son boʻlib barcha 
i
lar uchun bir xil va un-
ing qiymati 
M
1
– 
M
6
larning qiymatlari orqali topiladi. 
Isbot. 
(58) baholashni chiqarishning gʻoyasi Eyler oshkor usulining 
(40) baholashinikiga oʻxshash (bu yerda 
M
oʻzgarmasning qiymati har 
ikkala usul uchun bir biridan farq qiladi). Qaralayotgan usulning lokal 
xatoligi uchun ushbu 
1
1
)
(
)
2
(
1
)
(





i
i
i
i
y
x
y

(59) 
ifodasida 
y
i
+1
toʻr yechimni unga teng boʻlgan va hisob ifodasining 
h
ning 
darajalari boʻyicha Teylor qatoriga yoyilmasi hisob formulasidan topilgan 
miqdori bilan almashtiramiz, bunda ishonch hosil qilamizki, u 
h
boʻyicha 
talab qilingan kichiklik darajasiga koʻra cheksiz kichik. 
Yuqoridagi (59) formulada 
)
(
1
)
(

i
i
x
y
miqdor, Eylerning oshkor usu-
lidagi kabi, ushbu 
 
))
(
,
(
)
(
)
(
1
)
(
x
y
x
f
x
y
i
i
i



, (60) 
i
i
i
y
x
y


)
(
1
)
(
(61) 
differensial tenglama yordamchi yechimining – Koshi masalasi yechimin-
ing