Samarqand davlat universiteti birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni bir qadamli sonli

 
3-taʼrif.
Bir qadamli usul 
m
-
tartibli aniqlikdagi usul
deb aytiladi (
m
– 
natural son, 
m

1), agar toʻr yechimning xatoligi uchun quyidagi baholash 
oʻrinli boʻlsa: 
m
i
N
i
Ch



,...,
1
,
0
max
. (74) 
Xususan, Eylerning oshkor usuli
 
birinchi
 
tartibli aniqlikka ega, 
Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari esa ikkinchi
 
tart-
ibli aniqlikka ega. 
13-izoh.
Yuqorida aytilganlarga koʻra, 
m
-tartibli aniqlikka ega bir 
qadamli usullarni qurish masalasi 
h
m
+1
tartibli lokal xatolikka ega usullarni 
qurish masalasiga olib kelinadi. 
14-izoh.
Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari 
quyidagi hisob formulalariga ega guruhga kiradi: 


))
,
(
,
(
)
,
(
2
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
hf
y
h
x
f
p
y
x
f
p
h
y
y








, (75) 
bu yerda 
p
1
, 
p
2
, 

- haqiqiy oʻzgarmaslar («usulning parametrlari»). 
Xususan, Eylerning toʻgʻrilangan usuli uchun 
p
1
= 
p
2
= 1/2; 

 
= 1, 
Eylerning modifikatsiyalangan usuli uchun esa 
p
1
= 0; 
p
2
= 1; 

 
= 1/2.
3-teorema.
(75) hisob formulali bir qadamli usulning lokal xatoligi 
(73) baholashni qanoatlantirishi uchun uning parametrlari quyidagi 
tenglamalar sistemasini qanoatlantirishi zarur va yetarli: 
p
1
+ 
p
2
= 1;
p
2

 
= 1/2. (76) 
Isbot.
Eylerning toʻgʻrilangan usulidagi kabi ((67) formulaga qarang) 
toʻr yechim (75) ni Teyler formulasi yordamida 
h
ning darajalari boʻyicha 
yoyib chiqib, quyidagi yoyilmaga ega boʻlamiz: 


))
,
(
,
(
)
,
(
2
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
hf
y
h
x
f
p
y
x
f
p
h
y
y








, (77) 
bu yerda


2
2
2
2
2
)
~
,
~
(
''
)
~
,
~
(
''
2
)
~
,
~
(
''
2
f
y
x
f
f
y
x
f
y
x
f
p
i
i
yy
i
i
xy
i
i
xx
i







. (78) 
Bu yerda 
'
,
'
,
y
x
f
f
f
orqali differensial tenglamaning oʻng tomoni va 
uning (
x
i
,
y
i
) «baza» nuqtadagi, yaʼni atrofida Teylor boʻyicha yoyilma 

---

30 
yozilgan nuqtadagi birinchi hosilalari, 
i
i
y
x
~
,
~
- orqali esa baza nuqta va 
«qoʻzgʻalgan» nuqtani tutastiruvchi kesmaning oraliq nuqtalari koordinata-
lari, yaʼni 
x
va 
y
oʻzgaruvchilari boʻyicha 

h
, 

hf
koordinat orttirmalariga 
ega nuqta belgilangan. 
(77) yoyilmani (68) yoyilmadan ((75) yoyilma holida Eylerning 
toʻgʻrilangan usuli uchun xuddi shu koʻrinishdagi aniqlikka ega) ayirib, 
mos oʻxshashliklarga keltirib, (75) usulning lokal xatoligi uchun quyidagi 
ifodaga kelamiz: 




 


3
)
(
2
2
2
1
)
2
(
1
)
(
''
'
6
1
'
'
2
1
1
h
h
x
y
h
f
f
f
p
h
f
p
p
i
i
i
i
y
x
i












 










. (79) 
Agar (76) shart bajarilsa, u holda (79) tenglikning oʻng tarafidagi 
h
boʻyicha birinch va ikkinchi tartibgacha kichiklikka ega hadlar yoʻqoladi 
va lokal xatolik 
h
boʻyicha uchinchi tartibgacha kichiklikka ega had bilan 
mos keladi. Eylerning toʻgʻrilangan usulidagi kabi koeffitsientning absoly-
ut miqdorini (72) va (78) formulalar yordamida baholab, (73) tengsizlikka 
kelamiz. 
Agar (76) shartlardan birortasi bajarilmasa, u holda (79) lokal xatolik 
h
boʻyicha uchinchidan kichik tartibga ega va shuning uchun (73) 
tengsizlik oʻrinli boʻla olmaydi. 
15-izoh. 
3-teoremaga va 13-izohga koʻra (76) shart bajarilganda (75) 
hisob formulali usul ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻladi. 
16-izoh. 
p
2
parametrning nol qiymati (76) tenglamaning oʻng 
tomonini qanoatlantirmaydi. Bu holni chiqarib tashlab, shu tenglamadan 

ning 
p
2
parametr orqali ifodasiga kelamiz. Bunda tashqari (76) tenglaman-
ing chap tomoni 
p
1
parametrni
p
2
parametr orqali ifodalash imkonini be-
radi. Bu ifodalarni (75) ifodaga qoʻysak, quyidagi ikkinchi tartibli aniqlik-
ka ega bir parametrli hisob formulalari oilasiga kelamiz: 





















)
,
(
2
,
2
)
,
(
)
1
(
2
2
2
2
1
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
f
p
h
y
p
h
x
f
p
y
x
f
p
h
y
y
.
 
Bu yerda 
p
2
parametrga noldan farqli biror fiksirlangan haqiqiy qiymat 
berib, bu oilaning aniq hisob formulasini hosil qilamiz.
17-izoh. 
(75) toʻr yechimni geometrik jihatdan topishda Eylerning 
toʻgʻrilangan usulini oʻrganishda tavsiflangan qurish uslubidan foydalanish 
mumkin (4-lemmaga va undan oldingi fikrlarga qarang). Faqatgina farq 
shundaki, bunda kenglikning ikkinchi urinma oʻtkaziladigan nuqtasi sifati-
da 
))
,
(
,
(
i
i
i
i
y
x
hf
y
h
x




nuqta olinadi, urinmalar burchak koeffitsiyen-
larining oʻrta arifmetigi qiymati sifatida esa ularning oʻrta algebraik 
qiymat, yaʼni quyidagi chiziqli kombinatsiya qiymati olinadi: 

---

31 
2
2
1
1



tg
p
tg
p
tg


, 
bu yerda 
p
1
+ 
p
2
=1. 
18-izoh.
(75) usullar Runge-Kutta usullari oilasiga kiradi va (76) 
shartlar bajarilganda ular ikkinchi tartibli aniqlikka ega usullar qism 
oilasini tashkil etadi. Bu usulning gʻoyasi 1885 yilda Karl Runge tomoni-
dan kiritilda va 1901 yilda Vilgelm Kutta tomonidan rivojlantirildi. Bu bir 
qadamli usullarning keng oilasi yuqori tartibli aniqlikka ega usullarni (bu 
usullarning baʼzilari uchinchi va baʼzilari esa toʻrtinchi tartibli aniqlikka 
ega) ham oʻz ichiga oladi.
Uchinchi tartibli aniqlikka ega usul algoritmining (
i
+1)-qadamida 
quyidagi miqdorlar ketma-ket hisoblanadi: 
),
2
,
(
),
2
,
2
(
),
,
(
2
1
3
1
2
1
hk
hk
y
h
x
f
k
k
h
y
h
x
f
k
y
x
f
k
i
i
i
i
i
i








(80) 
buning geometrik nuqtai nazardan maʼnosi shuki, bu miqdorlar differensial 
tenglama yechimining grafigiga (
x
i
,
y
i
) nuqtada oʻtkazilgan urinmaning 
burchak koeffitsiyentini va (80) ifodaning ikkinchi va uchinchi oʻrnida 
turgan kengliklar nuqtalarining koordinatalarini ifodalaydi. Shundan keyin 
x
i
+1
tugundagi toʻr yechim quyidagi formula bilan hisoblanadi: 
)
4
(
6
3
2
1
1
k
k
k
h
y
y
i
i





. (81) 
Bu geometrik nuqtai nazardan shu maʼnoni bildiradiki, (
x
i
,
y
i
) nuqta 
orqali oʻrtalashtirilgan koeffitsiyentlari 
6
1
,
6
4
,
6
1
boʻlgan (80) algebraik 
oʻrta miqdoriga teng burchak koeffisiyentli toʻgʻri chiziq oʻtkaziladi va 
x
i
+1
tugundagi toʻr yechim sifatida bu toʻgʻri chiziqning 
x
i
+1
tugun orqali ordi-
nata oʻqiga parallel ravishda oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtas-
ining ordinatasi olinadi. 
Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega usul algoritmining (
i
+1)-qadamida 
dastlab quyidagi miqdorlar hisoblanadi: 
),
2
,
2
(
),
,
(
1
2
1
k
h
y
h
x
f
k
y
x
f
k
i
i
i
i




),
,
(
),
2
,
2
(
3
4
2
3
hk
y
h
x
f
k
k
h
y
h
x
f
k
i
i
i
i






(82) 
keyin esa toʻr yechim quyidagi formuladan topiladi: 
)
2
2
(
6
4
3
2
1
1
k
k
k
k
h
y
y
i
i






. (83)