Samarqand davlat universiteti birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni bir qadamli sonli



Download 2,69 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/24
Sana02.04.2022
Hajmi2,69 Mb.
#524946
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24
Bog'liq
AbdirashidovA.BirinchitartibliODTlarnibirqadamlisonliusullaryordamidayechishUK2018

2. Masalaning qoʻyilishi 
 
Koshi masalasi
. Ushbu 
birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning
boshlangʻich shart bilan [
x
0

x
n
] kesmadagi yechimini toping. 
Bu masalaning taqribiy yechimini topishda hisoblashlar 
h
= (
x
n
– 
x
0
)/
n
qadam bilan bajariladi, bunda hisob tugunlari sifatida [
x
0

x
n
] kesmadagi
x
i

x
0

ih
,
i
=0, 1, .., 
n
nuqtalardan foydalaniladi. 
Ishning maqsadi quyidagi jadvalni tuzish: 
x
i
x
0
x
1

x
n
y
i
y
0
y
1

y
n
yaʼni 
y
(
x
) funksiyaning taqribiy qiymatlari toʻrning tugun nuqtalarida izla-
nadi. 
Berilgan tenglamani [
x
i

x
i+
1
] kesmada integrallab, quyidagi tenglikka 
ega boʻlamiz: 
Masalaning sonli yechimini topish uchun ana shu integral sonli inte-
gallashning biror kvadratur formulasi bilan almashtirilib, masala yechiladi. 
Quyida ana shunday usullar bilan tanishamiz.
 
3. Eylerning oshkor usuli 
Ushbu bandda quyidagi Koshi masalasini taqribiy yechishning univer-
sial usuli tavsiflangan: 
y

(
x
) = 
f
(
x
,
y
(
x
)),
x
0

x

x
0

L
, (1) 
y
(
x
0
) = 


(2) 
bu yerda 
L
> 0, 
L
– integrallash kesmasining uzunligi. 
Bu tenglamaning yechimi deb shunday 
y
(
x
) funksiya tushuniladiki, u 
berilgan [
x
0

x
0
+
L
] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega, shu nuqtalar-
da (1) tenglamani qanoatlantiradi va 
x

x
0
nuqtada qoʻshimcha (bosh-
langʻich) shart (2) ni qanoatlantirsin. 



Bunday yechimni mavjud va yagona deb faraz qilamiz. Bundan 
tashqari taqribiy yechimning mavjudligini ham kafolatlash uchun 
f
(
x
,
y

funksiya [
x
0

x
0

L
] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy (
x
*

y
*
) nuqtasida 
aniqlangan deb kelishamiz (1-rasm). 
1-rasm. 2-rasm 
N
natural sonni tanlaymiz va integrallash kesmasi [
x
0

x
0

L
] ni
h

L
/
N
(3) 
uzunlikli 
N
ta boʻlakka
x
i

x
0

ih
,
i = 
0, 1, …, 
N
(4) 
nuqtalar bilan boʻlamiz (2-rasm). 
Diskret nuqtalr toʻplami (4) ni [
x
0

x
0
+
L

kesmadagi toʻr

x
i
nuqtalar-
ning oʻzlarini esa 
toʻrning tugunlari
deb ataymiz. 
Yonma-yon nomerli toʻr tugunlari orasidagi masofa uzunligi (3) 
umumiy kesmaning boʻlagi boʻlgan [
x
i

x
i
+1
] kesmaning uzunligi boʻlib, u 
toʻrning qadami
deb ataladi (3-rasm). 
N
ning cheksiz oʻsishida toʻr qadami 
nolga intiladi: 
N

da
h

0, (5) 
bundan esa toʻr zichlashub boraveradi. 
3-rasm. 
Bizning maqsadimiz, izlanayotgan 
y
(
x
) yechimning bu toʻr tugun-
laridagi 
y
(
x
i
) qiymatlarini taqribiy topishning tenglamalari sistemaini hosil 
qilish. Buning uchun (1) differensial tenglamada toʻrning 
x
i
nuqtasida 
y

(
x
i

hosilaning yozilgan ushbu 
y

(
x
i
) =
 f

(
x
i
,
 y

(
x
i
)) (6) 
ifodasini quyidagi toʻr boʻyicha yaqinlashish bilan almashtirish: 
h
x
y
x
y
h
x
y
h
x
y
i
i
i
i
)
(
)
(
)
(
)
(
1





. (7) 
Bu sxemaning maʼnosi quyidagicha. 



Faraz qilaylik, 

i
– toʻr boʻyicha yaqinlashish (7) ning xatoligi 
boʻlsin: 
i
i
i
i
x
y
h
x
y
x
y






)
(
)
(
)
(
1

Bu yerdan 
y

(
x
i
) hosilani quyidagicha 
i
i
i
i
h
x
y
x
y
x
y






)
(
)
(
)
(
1
ifodalab, uni (6) tenglikning chap tarafiga qoʻysak, quyidagi munosabatni 
hosil qilamiz: 
i
i
i
i
i
x
y
x
f
h
x
y
x
y





))
(
,
(
)
(
)
(
1
. (8) 
Bu tenglikni izlanayotgan ikkita 
y
(
x
i
) va 
y
(
x
i
+1
) miqdorlar qanoatlanti-
radi. 
Shuni taʼkidlaymizki, (8) tenglama barcha 
i
= 0, 1, …, 
N
–1 
lar uchun yozilishi mumkin. Bulardan esa (8) tenglama 
N
ta tenglamalar 
sistemasini tashkil qiladi (bu yerda 
i

N
uchun (8) tenglamani yozib 
boʻlmaydi, chunki bu tugunda 
x
i
+1
nuqta toʻrdan tashqariga chiqib ketadi). 
Afsuski, (8) tenglamaning oʻng tarafida ishtirok etayotgan 

i
xatolik 
hozircha bizga maʼlum emas, shuning uchun (8) sistemadan foydalanib 
barcha
y
(
x
i
) miqdorlarni 
i
= 1, 2, …, 
N
lar uchun toʻgʻridan-toʻgʻri topib 
boʻlmaydi, bunda hozircha boshlangʻich shartdan faqatgina 
y
(
x
0
) maʼlum. 
Ammo 
h
qadam juda kichik tanlanganda bu xatolik ham juda kichik 
boʻladi va uni (8) tenglamadan tashlab yuborish mumkin boʻladi. 
Ana shu holatda izlanayotgan nomaʼlum 
y
(
x
i
) miqdorni 
y
i
deb bel-
gilab, quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz: 
)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y



,
i
= 0, 1, …, 
N
-1. (9) 
Bu yerda (8) tenglamaning oʻng tarafidagi oʻzgarish, albatta, uning 
yechimini ham oʻzgartiradi. 
Bu (9) tenglamalar sistemasiga ushbu 
y
0


(10) 
tenglikni ham qoʻshib, nomaʼlum 
y
i
miqdorlarni topishning skalyar 
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. 
Ushbu 
y
0

y
1
, …, 
y
N
ketma-ketlik skalyar tenglamalar sistemasi (9) dan topilgan nomaʼlum 
y
i
miqdorlarning qiymatlari boʻlib, ular 
toʻr yechimlar
deb ataladi, bu ketma-



ketlikning umumiy hadi 
y
i
esa 
toʻr yechimning
x
i
tugundagi qiymati
deyiladi. 
Dastlabki 
x
0
tugunda toʻr yechim berilgan diferensial masalaning 
boshlangʻich shart bilan berilgan yechimi bilan mos keladi, yaʼni 
y
0



y
(
x
0
), 
toʻrning boshqa tugunlarida esa ushbu 
y
i
 

 y
(
x
i
), 
i
= 1, 2, …, 
N
taqribiy yaqinlashishlargina aniqlangan boʻladi. 
1-lemma.
(9) – (10) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega. 
Isbot.
(9) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y



,
i
= 0, 1, …, 
N
–1. (11) 
Berilgan 
f
funksiyaning aniqlanish sohasi haqidagi farazga koʻra (11) 
tenglikning oʻng tarafi ixtiyoriy haqiqiy 
y
i
lar uchun aniqlangan, shuning 
uchun bu tenglik oldingi 
x
i
tugundagi toʻr yechimdan foydalaib 
x
i
+1
tugundagi toʻr yechimni topish imkoniyatini beruvchi formula boʻlib 
hisoblanadi. (10) tenglikka koʻra 
x
0
tugundagi toʻr yechim maʼlum, (11) 
dan ketma-ket foydalanish orqali esa barcha nomaʼlum 
y
1

y
2
, …, 
y
N
larni 
biridan ikkinchisini bir qiymatli topib borish mumkin. 
1-izoh. 
Toʻr yechimlarni topishning yuqorida tavsiflangan ushbu 
y
0


 
,

)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y



,
i
= 0, 1, …, 
N
–1. (11) 
algoritmi 1768 yilda shvetsariyalik matematik olim Leonard Eyler (1707-
1783) tomonidan taklif etilgan boʻlib, bu algoritm uning nomiga 
Eylerning 
oshkor usuli
deb ataladi. Bu usulning «oshkor» deb atalishiga sabab (9) 
tenglamaning 
y
i
+1
ga nisbatan yechilgan holda berilishidadir. Bu bilan (11) 
oshkor formula oldingi 
x
i
tugundagi 
y
i
toʻr yechimdan foydalanib 
x
i
+1
tugundagi 
y
i
+1
toʻr yechimni topish imkoniyatini berishi tushuniladi. 
Endi (11) algoritmning geometrik talqinini beraylik. Buning uchun 
avvalo (1) differensial tenglamaning yechimlar toʻplami mavjudligini faraz 
qiliamiz, yaʼni berilgan [
x
0

x
0

L
] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy 
ichki (
x
*

y
*
) nuqtasi orqali bu tenglamaning integral egri chizigʻi oʻtadi, 
boshqacha qilib aytganda, (
x
0

x
0

L
) ochiq intervaldan olingan ixtiyoriy 
x
*
va ixtiyoriy haqiqiy 
y
*
uchun ushbu 
y
(
x
*
) = 
y
*
,
y
(
x
) = 
f
(
x

y
(
x
)) 
Koshi masalasi yechiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan 
bizga maʼlumki, buning uchun kenglikning ixtiyoriy nuqtasida 
x

y
oʻzgaruvchilar juftligi boʻyicha 
f
funksiyaning uzluksizligini faraz qilish 
yetarli. 


10 
2-izoh.
Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usulining maʼnosi 
izlanayotgan 
y
yechimning [
x
i

x
i
+1
] intervaldagi grafigini xuddi shu differ-
ensial tenglamaning unga yaqin boʻlgan biror yechimi grafigiga 
oʻtkazilgan urinma boʻlagini anglatadi. 
Agar 
y
yechimning 
x
i
tugundagi 
y
(
x
i
) yechimi aniq boʻlganda edi, u 
holda bunday boʻlak sifatida 
y
yechimga 
x
i
nuqtada oʻtkazilgan urinma 
boʻlagini olish mumkin (4-rasm). 
4-rasm. 5-rasm 
Ammo biz 
y
(
x
i
) miqdor oʻrniga uning 
y
i
taqribiy qiymatini bilamiz, 
shuning uchun izlanayotgan 
y
yechimning grafigiga (
x
i

y
(
x
i
)) nuqtadan 
boshqasi orqali urinma oʻtkazishga majburmiz, bu xuddi shu differensial 
tenglama 
y
(
i
)
- yordamchi yechimi grafigining (
x
i

y
i
) nuqtasidan oʻtuvchi 
urinma (5-rasm). 
Bu urinmaning oʻrdinata oʻqiga parallel va 
x
i
+1
tugun orqali oʻtuvchi 
toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi (11) formula bilan 
hisoblangan 
y
i
+1
miqdorga aynan teng ekanligini koʻrsataylik. 
Aslida esa, faraz qilaylik, 
x
– aytilgan urinmaning ixtiyoriy nuqtasi-
ning absissasi, 

(
x
) – shu nuqtaning ordinatasi,

i
– bu urinmaning 
x
oʻq 
bilan tashkil qilgan burchagi boʻlsin (5-rasm). U holda

(
x
) = (tg

i
)(
x

 x
i
) + 
y
i
, (13) 
bu tenglama burchak koeffitsiyenti 
k
= tg

i
va (
x
i

y
i
) nuqtadan oʻtuvchi 
toʻgʻri chiziq tenglamasi. 
Maʼlumki, (13) toʻgʻri chiziq 
y
(
i
)
funksiyaning grafigiga 
x

x
i
nuqtada 
urinadi. Hosilaning geometrik talqinidan foydalanib, quyidagini yoza 
olamiz: 
tg

i
= (
y
(
i
)
)

(
x
i
), (14) 
bu yerda 
y
(
i
)
– quyidagi Koshi masalasining yechimi: 
(
y
(
i
)
)

(
x
) = 
f
(
x

y
(
i
)
(
x
)), (15) 
y
(
i
)
(
x
i
) = 
y
i
. (16) 


11 
(14) uchun esa quyidagi tenglikka ega boʻlamiz: 
tg

i

f
(
x
i

y
(
i
)
(
x
i
)) = 
f
(
x
i

y
i
). 
Shularga koʻra (13) urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi: 

(
x
) = 
f
(
x
i

y
i
)(
x

x
i
) + 
y
i
. (17) 
Bu urinmaning 
x
i
+1
tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel 
toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini topish uchun (17) 
tenglamada 
x

x
i
+1
deb olish lozim. Bu oʻrniga qoʻyish natijasida quyidagi 
miqdorga ega boʻlamiz: 

(
x
i
+1
) = 
f
(
x
i

y
i
)(
x
i
+1

x
i
) + 
y
i

Bu miqdor (11) formula orqali
x
i
+1

x
i


munosabatdan foydalanib topilgan 
y
i
+1
miqdorga teng. 

Download 2,69 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish