2. Masalaning qoʻyilishi
Koshi masalasi
. Ushbu
birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning
boshlangʻich shart bilan [
x
0
,
x
n
] kesmadagi yechimini toping.
Bu masalaning taqribiy yechimini topishda hisoblashlar
h
= (
x
n
–
x
0
)/
n
qadam bilan bajariladi, bunda hisob tugunlari sifatida [
x
0
,
x
n
] kesmadagi
x
i
=
x
0
+
ih
,
i
=0, 1, ..,
n
nuqtalardan foydalaniladi.
Ishning maqsadi quyidagi jadvalni tuzish:
x
i
x
0
x
1
…
x
n
y
i
y
0
y
1
…
y
n
yaʼni
y
(
x
) funksiyaning taqribiy qiymatlari toʻrning tugun nuqtalarida izla-
nadi.
Berilgan tenglamani [
x
i
,
x
i+
1
] kesmada integrallab, quyidagi tenglikka
ega boʻlamiz:
Masalaning sonli yechimini topish uchun ana shu integral sonli inte-
gallashning biror kvadratur formulasi bilan almashtirilib, masala yechiladi.
Quyida ana shunday usullar bilan tanishamiz.
3. Eylerning oshkor usuli
Ushbu bandda quyidagi Koshi masalasini taqribiy yechishning univer-
sial usuli tavsiflangan:
y
(
x
) =
f
(
x
,
y
(
x
)),
x
0
x
x
0
+
L
, (1)
y
(
x
0
) =
.
(2)
bu yerda
L
> 0,
L
– integrallash kesmasining uzunligi.
Bu tenglamaning yechimi deb shunday
y
(
x
) funksiya tushuniladiki, u
berilgan [
x
0
,
x
0
+
L
] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega, shu nuqtalar-
da (1) tenglamani qanoatlantiradi va
x
=
x
0
nuqtada qoʻshimcha (bosh-
langʻich) shart (2) ni qanoatlantirsin.
7
Bunday yechimni mavjud va yagona deb faraz qilamiz. Bundan
tashqari taqribiy yechimning mavjudligini ham kafolatlash uchun
f
(
x
,
y
)
funksiya [
x
0
,
x
0
+
L
] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy (
x
*
,
y
*
) nuqtasida
aniqlangan deb kelishamiz (1-rasm).
1-rasm. 2-rasm
N
natural sonni tanlaymiz va integrallash kesmasi [
x
0
,
x
0
+
L
] ni
h
=
L
/
N
(3)
uzunlikli
N
ta boʻlakka
x
i
=
x
0
+
ih
,
i =
0, 1, …,
N
(4)
nuqtalar bilan boʻlamiz (2-rasm).
Diskret nuqtalr toʻplami (4) ni [
x
0
,
x
0
+
L
]
kesmadagi toʻr
,
x
i
nuqtalar-
ning oʻzlarini esa
toʻrning tugunlari
deb ataymiz.
Yonma-yon nomerli toʻr tugunlari orasidagi masofa uzunligi (3)
umumiy kesmaning boʻlagi boʻlgan [
x
i
,
x
i
+1
] kesmaning uzunligi boʻlib, u
toʻrning qadami
deb ataladi (3-rasm).
N
ning cheksiz oʻsishida toʻr qadami
nolga intiladi:
N
da
h
0, (5)
bundan esa toʻr zichlashub boraveradi.
3-rasm.
Bizning maqsadimiz, izlanayotgan
y
(
x
) yechimning bu toʻr tugun-
laridagi
y
(
x
i
) qiymatlarini taqribiy topishning tenglamalari sistemaini hosil
qilish. Buning uchun (1) differensial tenglamada toʻrning
x
i
nuqtasida
y
(
x
i
)
hosilaning yozilgan ushbu
y
(
x
i
) =
f
(
x
i
,
y
(
x
i
)) (6)
ifodasini quyidagi toʻr boʻyicha yaqinlashish bilan almashtirish:
h
x
y
x
y
h
x
y
h
x
y
i
i
i
i
)
(
)
(
)
(
)
(
1
. (7)
Bu sxemaning maʼnosi quyidagicha.
8
Faraz qilaylik,
i
– toʻr boʻyicha yaqinlashish (7) ning xatoligi
boʻlsin:
i
i
i
i
x
y
h
x
y
x
y
)
(
)
(
)
(
1
.
Bu yerdan
y
(
x
i
) hosilani quyidagicha
i
i
i
i
h
x
y
x
y
x
y
)
(
)
(
)
(
1
ifodalab, uni (6) tenglikning chap tarafiga qoʻysak, quyidagi munosabatni
hosil qilamiz:
i
i
i
i
i
x
y
x
f
h
x
y
x
y
))
(
,
(
)
(
)
(
1
. (8)
Bu tenglikni izlanayotgan ikkita
y
(
x
i
) va
y
(
x
i
+1
) miqdorlar qanoatlanti-
radi.
Shuni taʼkidlaymizki, (8) tenglama barcha
i
= 0, 1, …,
N
–1
lar uchun yozilishi mumkin. Bulardan esa (8) tenglama
N
ta tenglamalar
sistemasini tashkil qiladi (bu yerda
i
=
N
uchun (8) tenglamani yozib
boʻlmaydi, chunki bu tugunda
x
i
+1
nuqta toʻrdan tashqariga chiqib ketadi).
Afsuski, (8) tenglamaning oʻng tarafida ishtirok etayotgan
i
xatolik
hozircha bizga maʼlum emas, shuning uchun (8) sistemadan foydalanib
barcha
y
(
x
i
) miqdorlarni
i
= 1, 2, …,
N
lar uchun toʻgʻridan-toʻgʻri topib
boʻlmaydi, bunda hozircha boshlangʻich shartdan faqatgina
y
(
x
0
) maʼlum.
Ammo
h
qadam juda kichik tanlanganda bu xatolik ham juda kichik
boʻladi va uni (8) tenglamadan tashlab yuborish mumkin boʻladi.
Ana shu holatda izlanayotgan nomaʼlum
y
(
x
i
) miqdorni
y
i
deb bel-
gilab, quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:
)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y
,
i
= 0, 1, …,
N
-1. (9)
Bu yerda (8) tenglamaning oʻng tarafidagi oʻzgarish, albatta, uning
yechimini ham oʻzgartiradi.
Bu (9) tenglamalar sistemasiga ushbu
y
0
=
(10)
tenglikni ham qoʻshib, nomaʼlum
y
i
miqdorlarni topishning skalyar
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Ushbu
y
0
,
y
1
, …,
y
N
ketma-ketlik skalyar tenglamalar sistemasi (9) dan topilgan nomaʼlum
y
i
miqdorlarning qiymatlari boʻlib, ular
toʻr yechimlar
deb ataladi, bu ketma-
9
ketlikning umumiy hadi
y
i
esa
toʻr yechimning
x
i
tugundagi qiymati
deyiladi.
Dastlabki
x
0
tugunda toʻr yechim berilgan diferensial masalaning
boshlangʻich shart bilan berilgan yechimi bilan mos keladi, yaʼni
y
0
=
=
y
(
x
0
),
toʻrning boshqa tugunlarida esa ushbu
y
i
y
(
x
i
),
i
= 1, 2, …,
N
taqribiy yaqinlashishlargina aniqlangan boʻladi.
1-lemma.
(9) – (10) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega.
Isbot.
(9) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y
,
i
= 0, 1, …,
N
–1. (11)
Berilgan
f
funksiyaning aniqlanish sohasi haqidagi farazga koʻra (11)
tenglikning oʻng tarafi ixtiyoriy haqiqiy
y
i
lar uchun aniqlangan, shuning
uchun bu tenglik oldingi
x
i
tugundagi toʻr yechimdan foydalaib
x
i
+1
tugundagi toʻr yechimni topish imkoniyatini beruvchi formula boʻlib
hisoblanadi. (10) tenglikka koʻra
x
0
tugundagi toʻr yechim maʼlum, (11)
dan ketma-ket foydalanish orqali esa barcha nomaʼlum
y
1
,
y
2
, …,
y
N
larni
biridan ikkinchisini bir qiymatli topib borish mumkin.
1-izoh.
Toʻr yechimlarni topishning yuqorida tavsiflangan ushbu
y
0
=
,
)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y
,
i
= 0, 1, …,
N
–1. (11)
algoritmi 1768 yilda shvetsariyalik matematik olim Leonard Eyler (1707-
1783) tomonidan taklif etilgan boʻlib, bu algoritm uning nomiga
Eylerning
oshkor usuli
deb ataladi. Bu usulning «oshkor» deb atalishiga sabab (9)
tenglamaning
y
i
+1
ga nisbatan yechilgan holda berilishidadir. Bu bilan (11)
oshkor formula oldingi
x
i
tugundagi
y
i
toʻr yechimdan foydalanib
x
i
+1
tugundagi
y
i
+1
toʻr yechimni topish imkoniyatini berishi tushuniladi.
Endi (11) algoritmning geometrik talqinini beraylik. Buning uchun
avvalo (1) differensial tenglamaning yechimlar toʻplami mavjudligini faraz
qiliamiz, yaʼni berilgan [
x
0
,
x
0
+
L
] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy
ichki (
x
*
,
y
*
) nuqtasi orqali bu tenglamaning integral egri chizigʻi oʻtadi,
boshqacha qilib aytganda, (
x
0
,
x
0
+
L
) ochiq intervaldan olingan ixtiyoriy
x
*
va ixtiyoriy haqiqiy
y
*
uchun ushbu
y
(
x
*
) =
y
*
,
y
(
x
) =
f
(
x
,
y
(
x
))
Koshi masalasi yechiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan
bizga maʼlumki, buning uchun kenglikning ixtiyoriy nuqtasida
x
,
y
oʻzgaruvchilar juftligi boʻyicha
f
funksiyaning uzluksizligini faraz qilish
yetarli.
10
2-izoh.
Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usulining maʼnosi
izlanayotgan
y
yechimning [
x
i
,
x
i
+1
] intervaldagi grafigini xuddi shu differ-
ensial tenglamaning unga yaqin boʻlgan biror yechimi grafigiga
oʻtkazilgan urinma boʻlagini anglatadi.
Agar
y
yechimning
x
i
tugundagi
y
(
x
i
) yechimi aniq boʻlganda edi, u
holda bunday boʻlak sifatida
y
yechimga
x
i
nuqtada oʻtkazilgan urinma
boʻlagini olish mumkin (4-rasm).
4-rasm. 5-rasm
Ammo biz
y
(
x
i
) miqdor oʻrniga uning
y
i
taqribiy qiymatini bilamiz,
shuning uchun izlanayotgan
y
yechimning grafigiga (
x
i
,
y
(
x
i
)) nuqtadan
boshqasi orqali urinma oʻtkazishga majburmiz, bu xuddi shu differensial
tenglama
y
(
i
)
- yordamchi yechimi grafigining (
x
i
,
y
i
) nuqtasidan oʻtuvchi
urinma (5-rasm).
Bu urinmaning oʻrdinata oʻqiga parallel va
x
i
+1
tugun orqali oʻtuvchi
toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi (11) formula bilan
hisoblangan
y
i
+1
miqdorga aynan teng ekanligini koʻrsataylik.
Aslida esa, faraz qilaylik,
x
– aytilgan urinmaning ixtiyoriy nuqtasi-
ning absissasi,
ỹ
(
x
) – shu nuqtaning ordinatasi,
i
– bu urinmaning
x
oʻq
bilan tashkil qilgan burchagi boʻlsin (5-rasm). U holda
ỹ
(
x
) = (tg
i
)(
x
–
x
i
) +
y
i
, (13)
bu tenglama burchak koeffitsiyenti
k
= tg
i
va (
x
i
,
y
i
) nuqtadan oʻtuvchi
toʻgʻri chiziq tenglamasi.
Maʼlumki, (13) toʻgʻri chiziq
y
(
i
)
funksiyaning grafigiga
x
=
x
i
nuqtada
urinadi. Hosilaning geometrik talqinidan foydalanib, quyidagini yoza
olamiz:
tg
i
= (
y
(
i
)
)
(
x
i
), (14)
bu yerda
y
(
i
)
– quyidagi Koshi masalasining yechimi:
(
y
(
i
)
)
(
x
) =
f
(
x
,
y
(
i
)
(
x
)), (15)
y
(
i
)
(
x
i
) =
y
i
. (16)
11
(14) uchun esa quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:
tg
i
=
f
(
x
i
,
y
(
i
)
(
x
i
)) =
f
(
x
i
,
y
i
).
Shularga koʻra (13) urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi:
ỹ
(
x
) =
f
(
x
i
,
y
i
)(
x
–
x
i
) +
y
i
. (17)
Bu urinmaning
x
i
+1
tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel
toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini topish uchun (17)
tenglamada
x
=
x
i
+1
deb olish lozim. Bu oʻrniga qoʻyish natijasida quyidagi
miqdorga ega boʻlamiz:
ỹ
(
x
i
+1
) =
f
(
x
i
,
y
i
)(
x
i
+1
–
x
i
) +
y
i
.
Bu miqdor (11) formula orqali
x
i
+1
–
x
i
=
h
munosabatdan foydalanib topilgan
y
i
+1
miqdorga teng.
Do'stlaringiz bilan baham: |