Samarqand davlat universiteti birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni bir qadamli sonli

2. Masalaning qoʻyilishi 
 
Koshi masalasi
. Ushbu 
birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning
boshlangʻich shart bilan [
x
0
, 
x
n
] kesmadagi yechimini toping. 
Bu masalaning taqribiy yechimini topishda hisoblashlar 
h
= (
x
n
– 
x
0
)/
n
qadam bilan bajariladi, bunda hisob tugunlari sifatida [
x
0
, 
x
n
] kesmadagi
x
i
= 
x
0
+ 
ih
,
i
=0, 1, .., 
n
nuqtalardan foydalaniladi. 
Ishning maqsadi quyidagi jadvalni tuzish: 
x
i
x
0
x
1
…
x
n
y
i
y
0
y
1
…
y
n
yaʼni 
y
(
x
) funksiyaning taqribiy qiymatlari toʻrning tugun nuqtalarida izla-
nadi. 
Berilgan tenglamani [
x
i
, 
x
i+
1
] kesmada integrallab, quyidagi tenglikka 
ega boʻlamiz: 
Masalaning sonli yechimini topish uchun ana shu integral sonli inte-
gallashning biror kvadratur formulasi bilan almashtirilib, masala yechiladi. 
Quyida ana shunday usullar bilan tanishamiz.
 
3. Eylerning oshkor usuli 
Ushbu bandda quyidagi Koshi masalasini taqribiy yechishning univer-
sial usuli tavsiflangan: 
y

(
x
) = 
f
(
x
,
y
(
x
)),
x
0

x

x
0
+ 
L
, (1) 
y
(
x
0
) = 

. 
(2) 
bu yerda 
L
> 0, 
L
– integrallash kesmasining uzunligi. 
Bu tenglamaning yechimi deb shunday 
y
(
x
) funksiya tushuniladiki, u 
berilgan [
x
0
, 
x
0
+
L
] kesmaning har bir nuqtasida hosilaga ega, shu nuqtalar-
da (1) tenglamani qanoatlantiradi va 
x
= 
x
0
nuqtada qoʻshimcha (bosh-
langʻich) shart (2) ni qanoatlantirsin. 

---

7 
Bunday yechimni mavjud va yagona deb faraz qilamiz. Bundan 
tashqari taqribiy yechimning mavjudligini ham kafolatlash uchun 
f
(
x
,
y
) 
funksiya [
x
0
, 
x
0
+ 
L
] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy (
x
*
, 
y
*
) nuqtasida 
aniqlangan deb kelishamiz (1-rasm). 
1-rasm. 2-rasm 
N
natural sonni tanlaymiz va integrallash kesmasi [
x
0
, 
x
0
+ 
L
] ni
h
= 
L
/
N
(3) 
uzunlikli 
N
ta boʻlakka
x
i
= 
x
0
+ 
ih
,
i = 
0, 1, …, 
N
(4) 
nuqtalar bilan boʻlamiz (2-rasm). 
Diskret nuqtalr toʻplami (4) ni [
x
0
, 
x
0
+
L
] 
kesmadagi toʻr
, 
x
i
nuqtalar-
ning oʻzlarini esa 
toʻrning tugunlari
deb ataymiz. 
Yonma-yon nomerli toʻr tugunlari orasidagi masofa uzunligi (3) 
umumiy kesmaning boʻlagi boʻlgan [
x
i
, 
x
i
+1
] kesmaning uzunligi boʻlib, u 
toʻrning qadami
deb ataladi (3-rasm). 
N
ning cheksiz oʻsishida toʻr qadami 
nolga intiladi: 
N

da
h

0, (5) 
bundan esa toʻr zichlashub boraveradi. 
3-rasm. 
Bizning maqsadimiz, izlanayotgan 
y
(
x
) yechimning bu toʻr tugun-
laridagi 
y
(
x
i
) qiymatlarini taqribiy topishning tenglamalari sistemaini hosil 
qilish. Buning uchun (1) differensial tenglamada toʻrning 
x
i
nuqtasida 
y

(
x
i
) 
hosilaning yozilgan ushbu 
y

(
x
i
) =
 f

(
x
i
,
 y

(
x
i
)) (6) 
ifodasini quyidagi toʻr boʻyicha yaqinlashish bilan almashtirish: 
h
x
y
x
y
h
x
y
h
x
y
i
i
i
i
)
(
)
(
)
(
)
(
1





. (7) 
Bu sxemaning maʼnosi quyidagicha. 

---

8 
Faraz qilaylik, 

i
– toʻr boʻyicha yaqinlashish (7) ning xatoligi 
boʻlsin: 
i
i
i
i
x
y
h
x
y
x
y






)
(
)
(
)
(
1
. 
Bu yerdan 
y

(
x
i
) hosilani quyidagicha 
i
i
i
i
h
x
y
x
y
x
y






)
(
)
(
)
(
1
ifodalab, uni (6) tenglikning chap tarafiga qoʻysak, quyidagi munosabatni 
hosil qilamiz: 
i
i
i
i
i
x
y
x
f
h
x
y
x
y





))
(
,
(
)
(
)
(
1
. (8) 
Bu tenglikni izlanayotgan ikkita 
y
(
x
i
) va 
y
(
x
i
+1
) miqdorlar qanoatlanti-
radi. 
Shuni taʼkidlaymizki, (8) tenglama barcha 
i
= 0, 1, …, 
N
–1 
lar uchun yozilishi mumkin. Bulardan esa (8) tenglama 
N
ta tenglamalar 
sistemasini tashkil qiladi (bu yerda 
i
= 
N
uchun (8) tenglamani yozib 
boʻlmaydi, chunki bu tugunda 
x
i
+1
nuqta toʻrdan tashqariga chiqib ketadi). 
Afsuski, (8) tenglamaning oʻng tarafida ishtirok etayotgan 

i
xatolik 
hozircha bizga maʼlum emas, shuning uchun (8) sistemadan foydalanib 
barcha
y
(
x
i
) miqdorlarni 
i
= 1, 2, …, 
N
lar uchun toʻgʻridan-toʻgʻri topib 
boʻlmaydi, bunda hozircha boshlangʻich shartdan faqatgina 
y
(
x
0
) maʼlum. 
Ammo 
h
qadam juda kichik tanlanganda bu xatolik ham juda kichik 
boʻladi va uni (8) tenglamadan tashlab yuborish mumkin boʻladi. 
Ana shu holatda izlanayotgan nomaʼlum 
y
(
x
i
) miqdorni 
y
i
deb bel-
gilab, quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz: 
)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y



,
i
= 0, 1, …, 
N
-1. (9) 
Bu yerda (8) tenglamaning oʻng tarafidagi oʻzgarish, albatta, uning 
yechimini ham oʻzgartiradi. 
Bu (9) tenglamalar sistemasiga ushbu 
y
0
= 

(10) 
tenglikni ham qoʻshib, nomaʼlum 
y
i
miqdorlarni topishning skalyar 
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. 
Ushbu 
y
0
, 
y
1
, …, 
y
N
ketma-ketlik skalyar tenglamalar sistemasi (9) dan topilgan nomaʼlum 
y
i
miqdorlarning qiymatlari boʻlib, ular 
toʻr yechimlar
deb ataladi, bu ketma-

---

9 
ketlikning umumiy hadi 
y
i
esa 
toʻr yechimning
x
i
tugundagi qiymati
deyiladi. 
Dastlabki 
x
0
tugunda toʻr yechim berilgan diferensial masalaning 
boshlangʻich shart bilan berilgan yechimi bilan mos keladi, yaʼni 
y
0
= 

= 
y
(
x
0
), 
toʻrning boshqa tugunlarida esa ushbu 
y
i
 

 y
(
x
i
), 
i
= 1, 2, …, 
N
taqribiy yaqinlashishlargina aniqlangan boʻladi. 
1-lemma.
(9) – (10) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega. 
Isbot.
(9) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y



,
i
= 0, 1, …, 
N
–1. (11) 
Berilgan 
f
funksiyaning aniqlanish sohasi haqidagi farazga koʻra (11) 
tenglikning oʻng tarafi ixtiyoriy haqiqiy 
y
i
lar uchun aniqlangan, shuning 
uchun bu tenglik oldingi 
x
i
tugundagi toʻr yechimdan foydalaib 
x
i
+1
tugundagi toʻr yechimni topish imkoniyatini beruvchi formula boʻlib 
hisoblanadi. (10) tenglikka koʻra 
x
0
tugundagi toʻr yechim maʼlum, (11) 
dan ketma-ket foydalanish orqali esa barcha nomaʼlum 
y
1
, 
y
2
, …, 
y
N
larni 
biridan ikkinchisini bir qiymatli topib borish mumkin. 
1-izoh. 
Toʻr yechimlarni topishning yuqorida tavsiflangan ushbu 
y
0
= 

 
,

)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y



,
i
= 0, 1, …, 
N
–1. (11) 
algoritmi 1768 yilda shvetsariyalik matematik olim Leonard Eyler (1707-
1783) tomonidan taklif etilgan boʻlib, bu algoritm uning nomiga 
Eylerning 
oshkor usuli
deb ataladi. Bu usulning «oshkor» deb atalishiga sabab (9) 
tenglamaning 
y
i
+1
ga nisbatan yechilgan holda berilishidadir. Bu bilan (11) 
oshkor formula oldingi 
x
i
tugundagi 
y
i
toʻr yechimdan foydalanib 
x
i
+1
tugundagi 
y
i
+1
toʻr yechimni topish imkoniyatini berishi tushuniladi. 
Endi (11) algoritmning geometrik talqinini beraylik. Buning uchun 
avvalo (1) differensial tenglamaning yechimlar toʻplami mavjudligini faraz 
qiliamiz, yaʼni berilgan [
x
0
, 
x
0
+ 
L
] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy 
ichki (
x
*
, 
y
*
) nuqtasi orqali bu tenglamaning integral egri chizigʻi oʻtadi, 
boshqacha qilib aytganda, (
x
0
, 
x
0
+ 
L
) ochiq intervaldan olingan ixtiyoriy 
x
*
va ixtiyoriy haqiqiy 
y
*
uchun ushbu 
y
(
x
*
) = 
y
*
,
y
(
x
) = 
f
(
x
, 
y
(
x
)) 
Koshi masalasi yechiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan 
bizga maʼlumki, buning uchun kenglikning ixtiyoriy nuqtasida 
x
, 
y
oʻzgaruvchilar juftligi boʻyicha 
f
funksiyaning uzluksizligini faraz qilish 
yetarli. 

---

10 
2-izoh.
Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usulining maʼnosi 
izlanayotgan 
y
yechimning [
x
i
, 
x
i
+1
] intervaldagi grafigini xuddi shu differ-
ensial tenglamaning unga yaqin boʻlgan biror yechimi grafigiga 
oʻtkazilgan urinma boʻlagini anglatadi. 
Agar 
y
yechimning 
x
i
tugundagi 
y
(
x
i
) yechimi aniq boʻlganda edi, u 
holda bunday boʻlak sifatida 
y
yechimga 
x
i
nuqtada oʻtkazilgan urinma 
boʻlagini olish mumkin (4-rasm). 
4-rasm. 5-rasm 
Ammo biz 
y
(
x
i
) miqdor oʻrniga uning 
y
i
taqribiy qiymatini bilamiz, 
shuning uchun izlanayotgan 
y
yechimning grafigiga (
x
i
, 
y
(
x
i
)) nuqtadan 
boshqasi orqali urinma oʻtkazishga majburmiz, bu xuddi shu differensial 
tenglama 
y
(
i
)
- yordamchi yechimi grafigining (
x
i
, 
y
i
) nuqtasidan oʻtuvchi 
urinma (5-rasm). 
Bu urinmaning oʻrdinata oʻqiga parallel va 
x
i
+1
tugun orqali oʻtuvchi 
toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi (11) formula bilan 
hisoblangan 
y
i
+1
miqdorga aynan teng ekanligini koʻrsataylik. 
Aslida esa, faraz qilaylik, 
x
– aytilgan urinmaning ixtiyoriy nuqtasi-
ning absissasi, 
ỹ
(
x
) – shu nuqtaning ordinatasi,

i
– bu urinmaning 
x
oʻq 
bilan tashkil qilgan burchagi boʻlsin (5-rasm). U holda
ỹ
(
x
) = (tg

i
)(
x
–
 x
i
) + 
y
i
, (13) 
bu tenglama burchak koeffitsiyenti 
k
= tg

i
va (
x
i
, 
y
i
) nuqtadan oʻtuvchi 
toʻgʻri chiziq tenglamasi. 
Maʼlumki, (13) toʻgʻri chiziq 
y
(
i
)
funksiyaning grafigiga 
x
= 
x
i
nuqtada 
urinadi. Hosilaning geometrik talqinidan foydalanib, quyidagini yoza 
olamiz: 
tg

i
= (
y
(
i
)
)

(
x
i
), (14) 
bu yerda 
y
(
i
)
– quyidagi Koshi masalasining yechimi: 
(
y
(
i
)
)

(
x
) = 
f
(
x
, 
y
(
i
)
(
x
)), (15) 
y
(
i
)
(
x
i
) = 
y
i
. (16) 

---

11 
(14) uchun esa quyidagi tenglikka ega boʻlamiz: 
tg

i
= 
f
(
x
i
, 
y
(
i
)
(
x
i
)) = 
f
(
x
i
, 
y
i
). 
Shularga koʻra (13) urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi: 
ỹ
(
x
) = 
f
(
x
i
, 
y
i
)(
x
–
x
i
) + 
y
i
. (17) 
Bu urinmaning 
x
i
+1
tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel 
toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini topish uchun (17) 
tenglamada 
x
= 
x
i
+1
deb olish lozim. Bu oʻrniga qoʻyish natijasida quyidagi 
miqdorga ega boʻlamiz: 
ỹ
(
x
i
+1
) = 
f
(
x
i
, 
y
i
)(
x
i
+1
–
x
i
) + 
y
i
. 
Bu miqdor (11) formula orqali
x
i
+1
–
x
i
= 
h 
munosabatdan foydalanib topilgan 
y
i
+1
miqdorga teng.