Samarqand davlat universiteti birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni bir qadamli sonli

1-xulosa. 
x
i
+1
tugundagi toʻr yechimni topish uchun tekislikning (
x
i
, 
y
i
) nuqtasi orqali Koshining yordamchi masalasi (15)-(16) ning 
y
(
i
)
yechimi 
grafigiga urinma oʻtkazish lozim va 
y
i
+1
toʻr yechim sifatida bu urinmaning 
ordinata oʻqiga parallel va 
x
i
+1
tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan 
kesishish nuqtasi ordinatasini olish mumkin. 
3-izoh.
Algoritmning birinchi qadamida, yaʼni 
x
0
tugun nuqtada beril-
gan 
y
0
toʻr yechim boʻyicha 
x
1
tugun nuqtadagi 
y
1
toʻr yechim izlanadi, 
aslida urinma izlanayotgan 
y
yechim grafigiga oʻtkaziladi (6-rasm). Algo-
ritmning qolgan barcha qadamlarida urinmalar, aslida, (1) tenglamaning 
boshqa yechimlariga, yaʼni aynan oʻsha differensial tenglama uchun Koshi 
yordamchi masalasi (15)-(16) ning yechimiga oʻtkaziladi. 
4-izoh.
Bu urinmalarni rasmda tasvirlasak, u holda izlanayotgan 
y
yechim grafigiga yaqinlahuvchi siniq chiziqlar hosil boʻladi (6-rasm). 
Shuning uchun ham Eylerning oshkor usuli 
Eylerning siniq chiziqli oshkor 
usuli
deb ham ataladi. 
5-izoh. 
Agar (6) tenglikda 
y

(
x
i
) hosilani almashtirish uchun (7) toʻr 
boʻyicha yaqilashish oʻrniga boshqa ushbu 
h
x
y
x
y
h
x
y
h
x
y
i
i
i
i
)
(
)
(
)
(
)
(
1






toʻr boʻycha yaqinlashishdan foydalansak, u holda toʻr yechimni izlash-
ning avvalgisidan boshqa quyidagi tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz: 
)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y



,
i
= 1, 2, …, 
N
(18) 
y
0
= 

. (19) 
(9)-(10) va (18)-(19) tenglamalar sistemasi orasidagi muhim farqlarni 
aniqlash uchun (18) sistemada indeksni bir birlikka siljitib, uni quyidagi 
ekvivalent shaklga keltiramiz: 

---

12 
)
,
(
1
1
1





i
i
i
i
y
x
f
h
y
y
,
i
= 0, 2, …, 
N
–1 (20) 
Endi bu sistemani (9) sistema bilan 
taqqoslaymiz. Koʻrinib turibdiki, 
nomaʼlum 
y
i
+1
(9) tenglamaning 
faqat chap tarafida chiziqi holda 
qatnashmoqda, bu esa uni oldingi 
tugundagi 
y
i
toʻr yechim orqali 
oshkor shaklda ifodalash imkonini 
beradi. 
6-rasm. 
(20) tenglamada esa nomaʼlum 
y
i
+1
(9) tenglamada ikki marta 
qatnashmoqda: chap tarafida chiziqli va oʻnd tarafda
 f
nochiziqli funksiya 
ostida nochiziqli. Shuning uchun bu tenglamada nomaʼlum 
y
i
+1
ni oldingi 
tugundagi toʻr yechim orqali oshkor shaklda ifodalashning umuman im-
koni yoʻq. Buning uchun esa algoritmning har bir qadamida oldingi 
tugundagi toʻr yechimdan foydalanib nochiziqli skalyar tenglamani no-
maʼlum 
y
i
+1
ga nisbatan biror usul yordamida yechish lozim boʻladi. 
Bu uslub (1)-(2) Koshi masalasini taqribiy yechishning ushbu 
y
0
= 

 
,

)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y



,
i
= 1, 2, …, 
N
(21) 
algoritm shaklida yozilgan 
Eylerning oshkormas usuli
deb ataladi. 
Eyler oshkormas usulining geometrik talqinini beraylik. 
Faraz qilaylik, 
y
i-
1
va
 y
i
– berilgan mos 
x
i-
1
va
 x
i
tugunlarda Eylerning 
oshkormas usuli yordamida topilgan toʻr yechimlar boʻlsin. Berilgan dif-
ferensial tenglama yechimining 
x
i
,
y
i
nuqtadan oʻtuvchi grafigini (7-rasm), 
yaʼni quydagi Koshi masalasi yechimining grafigini qaraylik: 
(
y
(
i
)
)

(
x
) = 
f
(
x
, 
y
(
i
)
(
x
)),
y
(
i
)
(
x
i
) = 
y
i
. 
Bu yechimning 
x = x
i
nuqtasiga oʻtkazilgan urinma (
x
i
, 
y
i
) nuqtadan 
oʻtuvchi va burchak koeffitsiyenti
k
= (
y
(
i
)
)

(
x
i
) = 
f
(
x
i
, 
y
(
i
)
(
x
i
)) = 
f
(
x
i
, 
y
i
). 
boʻlgan toʻgʻri chiziqdan iborat. (
x
i
-1
, 
y
i
-1
) va 
(
x
i
, 
y
i
) nuqtalarni tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq 
aynan ana shunday toʻgʻri chiziqdir: bu toʻgʻri 
chiziq tuzilishiga koʻra (
x
i
, 
y
i
) nuqtadan oʻtadi, 
uning burchak koeffitsiyenti esa 7-rasmdan va 
(21) formuladan koʻrinib turibdiki, aynan 
oʻsha miqdorga teng, yaʼni: 
7-rasm. 
)
,
(
))
,
(
(
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y
x
f
h
y
h
y
y
k









. 

---

13 
Bu dalil quyidagi xulosadan iborat 
i
-chi qadamdagi Eyler oshkormas usu-
lining geometrik interpretatsiyasini beradi.