Samarqand davlat universiteti birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni bir qadamli sonli



Download 2,69 Mb.
Pdf ko'rish
bet7/24
Sana02.04.2022
Hajmi2,69 Mb.
#524946
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   24
Bog'liq
AbdirashidovA.BirinchitartibliODTlarnibirqadamlisonliusullaryordamidayechishUK2018

3-xulosa.
Algoritmning (
i
+1)-chi qadamida 
x
i
+1
tugunda topilgan 
y
i
+1
toʻr yechimning xatoligi (32) yigʻindi boʻlib, bu (33) va (34) larning 
yigʻindisidan tashkil topgan, ularning birinchisi algoritmning oldingi 
qadamlarida yoʻl qoʻyilgan lokal xatoliklar taʼsirini ifodalaydi, ikkinchisi 
esa (
i
+1)-chi qadamdagi lokal xatolik. 
Endi lokal xatolikni baholaylik. 
2-lemma.
Eyler oshkor usulining (
i
+1)-chi qadamdagi lokal xatoligi 
uchun quyidagi ifoda oʻrinli: 
 


1
0
,
2
1
2
)
(
)
2
(
1






i
i
i
i
i
h
h
x
y



. (35) 
Isbot.
(34) formuladagi 
)
(
1
)
(

i
i
x
y
miqdorni Teylor formulasi boʻyicha 
yoyamiz, 
1

i
y
miqdorni esa (12) – Eylerning oshkor usuli formulasiga koʻra 
almashtiramiz. Natijada quyidagiga ega boʻlamiz: 
 
 




,
)
,
(
2
1
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
2
(
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
hf
y
h
h
x
y
h
x
y
x
y

















(36) 
bu yerda 

i
– nol va bir orasidagi haqiqiy son. (15) va (16) ga koʻra
 
.
)
,
(
))
(
,
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
f
x
y
x
f
x
y
y
x
y




(37) 


18 
Bu qiymatlarni (36) ga qoyib, oʻxshash hadlarni ixchamlasak, (35) 
kabi ifodani beradi. 
1-natija. 
Ixtiyoriy 
i
= 0, 1, …, 
N
–1 lar uchun quyidagi baholash 
oʻrinli: 


,
2
1
2
1
3
2
)
2
(
1
h
M
M
M
i




(38) 
bu yerda 
M
1
,
 M
2
,
 M
3
– (29)-(31) shartlardagi oʻzgarmaslar. 
Isbot.
(35) ifodadan quyidagiga ega boʻlamiz: 
 


.
2
1
2
)
(
)
2
(
1
h
h
x
y
i
i
i
i






(39) 
Bu munosabatga kiruvchi 
y
(
i
)
yordamchi yechimning ikkinchi hosilasi 
modulini baholaylik. 
(15) tenglikni 
x
boʻyicha differensiallaymiz, keyin esa shu tenglikdan 
yana bir bor foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz: 
 
 
 


 

  
 
 


 


 


x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
i
i
y
i
x
i
i
y
i
x
i
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
,
,
,
,













Bu yerdan (29)-(31) shartlarga koʻra ixtiyoriy 
x

[
x
0

x
0
+
L
] uchun quyidagi 
tengsizlik oʻrinli ekanligi kelib chiqadi: 
 
 
.
1
3
2
)
(
M
M
M
x
y
i



Bu tengsizlikda 
h
x
x
i
i



deb olib va natijani (39) tenglik bilan 
solishtirib, (38) tengsizlikka kelamiz. 
4-xulosa.
Ixtiyoriy 
i
= 0, 1, …, 
N
–1 lar uchun 
)
2
(
1

i

lokal xatolik 
quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi: 
,
2
)
2
(
1
Mh
i



(40) 
bu yerda 
M
– oʻzgarmas boʻlib, 
M
1
,
 M
2
,
 M
3
lar orqali quyidagicha ifodala-
nadi: 
M
= (
M
2
+
 M
3
M
1
)/2. (41) 
Boshqacha qilib aytganda, barcha lokal xatoliklarning moduli 
h
boʻyicha 
ikkinchi tartibli kichiklikka ega cheksiz kichik miqdor bilan baholanadi. 
Endi jamlangan xatoliklarni tadqiq qilishga oʻtaylik. 
Maʼlumki, yuqorida aytib oʻtilganidek, 
)
1
(
1

i

xatolik 
x
i
tugundagi toʻr 
yechimning noldan farqli 

i
xatoligi tufayli paydo boʻladi, shuning uchun 
)
1
(
1

i

xatolikni 

i
xatolik orqali ifodalashga harakat qilaylik. Shuni 
taʼkidlaymizki, 

i
xatolik (1) differensial tenglamaning 
x
i
 
nuqtadagi ikkita 
y
va 
y
(
i
)
yechimlari orasidagi farq, 
)
1
(
1

i

miqdor esa xuddi shu yechimlarning 
x
i
+1
 
nuqtadagi farqi (9-rasm). Shuning uchun differensial tenglamalar naz-
ariyasidagi quyidagi dalilga tayanamiz. 


19 
3-lemma.
Faraz qilaylik, 
y
I

y
II
– berilgan (1) differensial tenglaman-
ing ikkita yechimi, 

,
 

(



) – berilgan [
x
0

x
0
+
L
] kesmaning ikkita 
nuqtasi boʻlsin (10-rasm). U holda bu yechimlarning 

,
 

 
nuqtalardagi 
farqi quyidagi munosabat bilan bogʻlangan: 




















dx
x
y
x
f
y
y
y
y
y
II
I
II
I
))
(
,
(
exp
)
(
)
(
)
(
)
(

, (42) 
bu yerda 
)
(
x
y

– ikkita 
y
I
(
x
), 
y
II
(
x
) yechimlarning oraliq qiymati. 
Isbot.
Faraz qilaylik, ushbu
z
(
x
) = 
y
I
(
x
) – 
y
II
(
x
) (43) 
miqdor bu yechimlarning farqi boʻlsin. Bu miqdor qaysi differensial 
tenglamani qanoatlantirishini aniqlaylik. 
(43) dan hosila olamiz, oʻrniga qoʻyishlardan keyin quyidagiga ega 
boʻlamiz: 
z

 
(
x
) = 
f
(
x
,
y
I
(
x
)) – 
f
(
x
,
y
II
(
x
)). (44) 
Bu tenglikning oʻng tarafiga Lagranjning chekli orttirmalar formu-
lasini 
y
oʻzgaruvchi boʻyicha qoʻllaymiz, natijada: 
f
(
x
,
y
I
(
x
)) – 
f
(
x
,
y
II
(
x
)) = 
f
y

(
x

)
(
x
y

)

(
 y
I
(
x
) – 
y
II
(
x
)). (45) 
(45) va (43) formulalarni hisobga olib, (44) formuladan quyidagi 
tenglikni keltirib chiqaramiz: 
z

 
(
x
) =
 c 
(
x



(
x
) , (46) 
bu yerda 

(
x
) funksiya oqrali quyidagi funksiya belgilangan: 

(
x
) =
 f
y

 
(
x
,
)
(
x
y

) , (47) 
y
I

y
II
yechimlarni har xil deb hisoblaylik (agar ular oʻzaro mos boʻlsa 
(42) tenglikning toʻgʻriligi koʻrinadi). Aslida bu yechimlarning qiymatlari 
[

,
 

] kesmaning biror nuqtasida ham mos tushmaydi, chunki agar 
y
I
(
x
*
) = 
y
II
(
x
*
) = 
y
*
tenglik oʻrinli boʻlganda edi, qaralayotgan differensial tenglama 
bilan berilgan Koshi masalasi ushbu
 y
(
x
*
) = 
y
*
boshlangʻich shartda ikkita 
har xil yechimga ega boʻlgan boʻlardi, bu esa berilgan tenglamaning oʻng 
tarafiga nisbatan farazimizga zid boʻlib chiqadi. Natijada (43) ifoda nolga 
aylanmaydi, shuning uchun, birinchidan, (46) tenglikni quyidagicha yozib 
olish mumkin: 
)
(
)
(
)
(
x
c
x
z
x
z


, (48) 
ikkinchidan, 
c
(
x
) uchun (47) ni (45) yordamida quyidagicha yozish mum-
kin: 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
,
(
))
(
,
(
)
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
f
x
y
x
f
x
c
II
I
II
I
II
I
II
I











20 
Bu yerdagi 
c
(
x
) funksiyanig uzluksizligi haqida xulosa chiqarish uchun 
ikkita uzluksiz funksiyalar nisbatidagi maxraj nolga aylanmasligi lozim. 
Oxirgi xulosa (48) differensial tenglamaning har ikkala tarafidan [

,
 

] kesma boʻyicha aniq integral olishga imkon beradi, natija quyidagi 
tenglikni beradi: 








dx
x
c
dx
x
z
x
z
)
(
)
(
)
(

Chap tarafdagi integralni 
z
oʻzgaruvchi boʻyicha integral deb yozish mum-
kin (haqiqatdan ham, integrallash oʻzgaruvchilarini almashtirish orqali): 







dx
x
c
z
dz
z
z
)
(
)
(
)
(

Bu integralni Nyuton-Leybnits formulasi boʻyicha hisoblab, quyidagi 
tenglikka kelamiz: 







dx
x
c
z
z
)
(
)
(
ln
)
(
ln
yoki






dx
x
c
z
z
)
(
)
(
)
(
ln

bu yerda 
z
funksiya musbat, aks holda 
y
I

y
II
yechimlar teskari nomer-
lanadi. 
Bu yerdan logarifning taʼrifiga koʻra quyidagi munosabatga kelamiz: 














dx
x
c
z
z
)
(
exp
)
(
)
(
yoki 













dx
x
c
z
z
)
(
exp
)
(
)
(

Bu esa (43) va (47) larga koʻra (42) ni beradi. 

Download 2,69 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   24




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish