|
x
i
+1
nuqtadagi qiymati.
Bu qiymatni Teylor formulasi boʻyicha ifodalaymiz, bunda yoyilman-
ing uchunchi tartibgacha kichiklikdagi hadlarini saqlab qolamiz:
3
)
(
2
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
'
'
'
6
1
)
(
'
'
2
1
)
(
'
)
(
)
(
h
h
x
y
h
x
y
h
x
y
x
y
x
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
. (62)
(60) va (61) tengliklarga koʻra
i
i
i
y
x
y
)
(
1
)
(
,
)
,
(
))
(
,
(
)
(
'
)
(
1
)
(
i
i
i
i
i
i
i
y
x
f
x
y
x
f
x
y
. (63)
Bundan tashqari avval (60) tenglikni differensiallab, keyin esa uni qayta
qoʻllab, quyidagi munosabatga kelamiz:
)
(
'
))
(
,
(
'
))
(
,
(
'
)
(
''
)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
i
i
y
i
x
i
))
(
,
(
))
(
,
(
'
))
(
,
(
'
)
(
)
(
)
(
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
i
i
y
i
x
, (64)
bu yerda
x = x
i
almashtirish olib, (61) ga koʻra quyidagi tenglikka ega
boʻlamiz:
)
,
(
)
,
(
'
)
,
(
'
)
(
'
'
)
(
i
i
i
i
y
i
i
x
i
y
x
f
y
x
f
y
x
f
x
y
. (65)
27
(63) va (65) lardan foydalanib, (62) yoyilmani quyidagicha yozish mum-
kin:
2
1
)
(
)
,
(
)
,
(
'
)
,
(
'
2
1
)
,
(
)
(
h
y
x
f
y
x
f
y
x
f
h
y
x
f
y
x
y
i
i
i
i
y
i
i
x
i
i
i
i
i
3
)
(
)
(
''
'
6
1
h
h
x
y
i
i
i
(66)
Lokal xatolik uchun (59) ifodadagi
y
i
+1
miqdor (54) formula orqali
beriladi. Bu ifodaning oʻng tarafini ikki oʻzgaruvchili funksiya uchun
(
x
i
,
y
i
) nuqtada Teylor formulasi boʻyicha yoysak, quyidagini hosil qilamiz:
)
,
(
)
,
(
2
))
,
(
,
(
)
,
(
2
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
f
y
x
f
h
y
y
x
hf
y
h
x
f
y
x
f
h
y
y
2
)
~
,
~
(
''
2
1
)
,
(
)
,
(
'
)
,
(
'
h
y
x
f
y
x
f
h
y
x
f
h
y
x
f
i
i
xx
i
i
i
i
y
i
i
x
h
y
x
f
y
y
x
f
h
y
x
f
y
x
f
h
h
y
x
f
i
i
i
i
i
i
i
yy
i
i
i
i
xy
)
,
(
)
,
(
)
~
,
~
(
''
)
,
(
)
~
,
~
(
''
2
2
2
)
,
(
)
~
,
~
(
'
'
2
)
~
,
~
(
'
'
2
1
)
,
(
)
,
(
'
)
,
(
'
2
1
2
i
i
i
i
xy
i
i
xx
i
i
i
i
y
i
i
x
y
x
f
y
x
f
y
x
f
h
y
x
f
y
x
f
y
x
f
3
2
))
,
(
)
~
,
~
(
''
h
y
x
f
y
x
f
i
i
i
i
yy
, (67)
bu yerda
i
i
y
x
~
,
~
- ikkita (
x
i
,
y
i
) va
))
,
(
,
(
,
1
1
i
i
i
i
i
i
y
x
hf
y
x
y
x
nuqtalarni
tutashtiruvchi kesma boʻylab yotuvchi kenglik nuqtalarining koordinata-
lari.
(66) va (67) tengliklarni ixchamroq holda yozib, ikki oʻzgaruvchili
funksiyalar argumentlarini tashlab yuborib, agar ular
x
i
,
y
i
larda teng
boʻlsa, quyidagilarga kelamiz:
2
1
)
(
'
'
2
1
)
(
h
f
f
f
h
f
y
x
y
y
x
i
i
i
3
)
(
)
(
'
'
'
6
1
h
h
x
y
i
i
i
, (68)
3
2
1
'
'
2
1
h
h
f
f
f
h
f
y
y
i
y
x
i
i
, (69)
bu yerda quyidagi belgilash qabul qilingan:
2
)
~
,
~
(
''
)
~
,
~
(
''
2
)
~
,
~
(
''
2
1
f
y
x
f
f
y
x
f
y
x
f
i
i
yy
i
i
xy
i
i
xx
i
. (70)
(68) va (69) ifodalarni oʻzaro taqqoslab, ularda
h
boʻyicha nolinchi,
birinchi va ikkinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdorlar bir
xil va shuning uchun ularni (59) ifodaga qoʻyganimizda ular oʻzaro qis-
qarib ketadi. Demak, Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi quyidagi-
ga teng:
3
3
)
(
)
2
(
1
)
(
''
'
6
1
h
h
h
x
y
i
i
i
i
i
, (71)
28
shunga koʻra bu
h
ga nisbatan uchinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz
kichik miqdor. Bunda (71) munosabatning oʻng tarafidagi ikkinchi had
(-
i
h
3
) ning moduli yuqoridan
M
7
ˑ
h
3
miqdor bilan baholanadi, bu yerda
(70) ga koʻra
M
7
ning qiymati quyidagicha:
M
7
= (
M
4
+2
M
5
M
1
+
M
6
(
M
1
)
2
)/2
Birinchi handing moduli esa xuddi hu tartibli
M
6
h
3
cheksiz kichik mi-
qdor bilan yuqoridan baholash imkonini beradi, ammo bunda oʻzgarmas
M
S
. Bu oʻzgarmasni topish uchun (64) tenglikning oʻng tarafini differensi-
allash lozim va (60) munosabatdan foydalanib,
y
(
i
)
yechimning uchinchi
hosilasini hamda uning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini differensial
tenglamaning oʻng tarafi orqali quyidagicha ifodalash zarur:
))
(
,
(
))
(
,
(
''
))
(
,
(
''
)
(
''
'
)
(
)
(
)
(
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
i
i
xy
i
xx
i
))
(
,
(
))
(
,
(
))
(
,
(
''
))
(
,
(
''
)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
i
i
i
yy
i
xy
))
(
,
(
'
))
(
,
(
))
(
,
(
'
))
(
,
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
i
y
i
i
y
i
x
, (72)
bu yerdan
M
S
oʻzgarmasning qolgan
M
1
,
M
2
,
M
3
,
M
4
,
M
5
,
M
6
oʻzgarmaslar
orqali ifodasi kelib chiqadi.
Shunday qilib,
M
=
M
8
+
M
7
konstantali (58) baholash oʻrnatildi.
3-misol.
Eylerning modifikatsiyalangan usuli holida lokal xatolik
xuddi (58) baholash kabi baholashni (boshqacha aytganda
M
oʻzgarmasli)
qanoatlantirishini koʻrsating.
2-teorema.
Eylerning toʻgʻrilangan usuli holida toʻr yechimning
xatoligi quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:
2
,...,
1
,
0
max
Ch
i
N
i
, (73)
bu yerda
C
– chekli oʻzgarmas boʻlib,
h
dan bogʻliq emas, uning qiymati
M
1
,
M
2
,
M
3
,
M
4
,
M
5
,
M
6
oʻzgarmaslar qiymati va integrallash kesmasi
L
ning uzunligi bilan aniqlanadi.
Isbot.
Eyler oshkor usulining (53) baholashiga oʻxshash chiqarilgan
tahlillar shuni koʻrsatadiki, Eyler oshkor usulining hisob formulasi lokal
xatoliklar uchun (4) baholashni chiqarish uchun foydalaniladi. Bundan
keying fikrlar esa umumiy xarakterga ega boʻlib, ularni ixtiyoriy bir
qadamli usullarga qoʻllash mumkin. Bu fikrlarni chiqarish bilan birga (40)
dagi
Mh
2
majorantni (58) dagi Eyler modifikatsiyalangan usulining lokal
xatoligi majorantasi
Mh
3
bilan almashtirib, yuqorida taʼkidlangan xos-
salarga ega boʻlgan
C
oʻzgarmasli (73) baholashga kelamiz.
11-izoh.
(73) baholash (boshqa
C
oʻzgarmasli) Eylerning modi-
fikatsiyalangan usuli uchun ham oʻrinli.
29
12-izoh.
(73) baholash Eylernig oshkor usuli uchun chiqarilgan (4)
baholashga nisbatan toʻr qadami nolgan intilgandagi toʻr yechimning te-
zroq yaqinlashishini kafolatlaydi (
h
qadam ikki marta kamaytirilganda (73)
tengsizlikning oʻng tarafi, demakki, Eylerning toʻgʻrilangan va modi-
fikatsiyalangan usullarining toʻr yechimi absolyut xatoligining mumkin
boʻlgan limitik qiymati toʻrt marta kichrayadi, u holda (40) baholash
uchun toʻr qadamining xuddi shunday kamayishida Eyler oshkor usuli ab-
solyut xatoligining mumkin boʻlgan limitik qiymati ikki marta kichrayadi).
Do'stlaringiz bilan baham: |
