7-mavzu: Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli yuqori tartibli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalar

7-mavzu: Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli yuqori tartibli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalar.

Teorema. Bir jinslimas differensial tenglamaning umumiy yechimi ushbu tenglama biror xususiy yechimi va ning bir jinsli tenglamasi umumiy yechimlari yig`indisiga teng.

Misol. 1) tenglamaning xususiy echimini toping.

Ushbu holda . Xarakteristik tenglama

bo'lib, uning ildizlari 2 va 4 ga teng. .

Tenglamaning xususiy echimini ko`rinishda qidiramiz. Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:

ifodalarni tenglamaga qo`yiladi va ga qisqartirilgandan so`ng:

yoki

Mos koeffitsientlarni tenglab, natijani olamiz. Izlanayotgan xususiy echim:

Tenglamaning umumiy echimi

Misol. 2) tenglamaning xususiy echimini toping.

Xarakteristik tenglamani echamiz.

. Bizning holatda va bo'lib, xarakteristik tenglamaning ildizi emas. Demak, xususiy echim quyidagicha qidiriladi

.

Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:

.

ifodalarni tenglamaga qo`yamiz va soddalashtiramiz

Yoki .

Bundan

yoki . Xususiy echim

Demak, umumiy echim ,

bu erda va ixtiyoriy o'zgarmas sonlar.

Izoh. Agar o`zgarmas koeffitsientli tartibli chiziqli

differentsial tenglama o`rganilayotgan bo`lsa, uning ymumiy echimini qurish uchun

xarakteristik tenglamadan foydalaniladi. Xususiy echimni topish usuli ikkkinchi tartibli tenglama holidagi bilan bir xil.

Misol 3:





o`ng tomonini 0 ga tenglab yechamiz.

,

Karrali ildiz bo`lganligi uchun yechim quyidagi ko`rinishda bo`ladi.

o`ng tomon yechimini quyidagidan topamiz,

ikki marta hosila olamiz va tenglamaga qo`yamiz.



Bu tenglamani yechib,

ga qo`yamiz.

Yakuniy javobi quyidagicha bo`ladi.

Chiziqli o‘zgarmas koeffisentli yuqori tartibli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamalardan variantlar.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    
11. 
    
    
12. 
    
    
13. 
    
    
14. 
    
    
15. 
    
    
16. 
    
    
17. 
    
    
18. 
    
    
19. 
    
    
20. 
    
    
21. 
    
    
22. 
    
    
23. 
    
    
24. 
    
    
25. 
    
    
26. 
    
    
27. 
    
    
28. 
    
    
29. 
    
    
30.