M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

 
 4-misol
. 1) 
2
2
1
sin
n
n
n





 qator yaqinlashuvchi, chunki 
2
2
2
sin
1
0
n
n
n



 
boʻlib 
2
1
1
n
n




 qator yaqinlashuvchidir. 
 2) 
1
1
1
n
n





 qator uzoqlashuvchi, chunki 
1
1
0
1
2
n
n



 boʻlib 
1
1
2
n
n




 qator uzoqlashuvchidir. 
 
Teorema (Dalamber alomati). 
1
n
n
a



 
qator uchun 
1
lim
n
n
n
a
l
a


  limit mavjud 
boʻlsin. U holda, 
1. Agar 
1
l
  boʻlsa, qator yaqinlashadi; 
2. Agar 
1
l
  boʻlsa, qator uzoqlashadi. 
 
 5-misol
. 
1
1
!
n
n




qator yaqinlashuvchi. Chunki 
( )!
lim
0
(
1)!
n
n
n



. 
 
Teorema (Koshi alomati). 
1
n
n
a



 
qator uchun 
lim
n
n
n
a
l


 limit mavjud boʻlsin. U 
holda, 
1. Agar 
1
l
  boʻlsa, qator yaqinlashadi; 
2. Agar 
1
l
  boʻlsa, qator uzoqlashadi. 

 
16 
 6-misol
. 
1
1
n
n
n




 qator yaqinlashuvchi. Chunki 
1
lim
0
n
n
n
n


. 
1
1
( 1)
,
0
n
n
n
n
a
a






 qator ishorasi almashinuvchi qator deb ataladi. 
 
Teorema. 
Agar 
1
1
,
0,
, lim
0
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a








 boʻlsa, u holda 
1
1
( 1)
,
0
n
n
n
n
a
a






 qator yaqinlashuvchi boʻladi.
 
Agar 
1
n
n
a




qator yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda 
1
n
n
a




qator absolyut 
yaqinlashuvchi qator deb ataladi. Absolyut yaqinlashuvchi qator 
yaqinlashuvchidir.
 
 
 7-misol
. 
1
2
n
n
n
i




absolyut yaqinlashuvchi qator. Chunki 
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
i








yaqinlashuvchidir. 
 Agar 
1
n
n
a




qator uzoqlashuvchi va 
1
n
n
a




qator yaqinlashuvchi boʻlsa, u 
holda 
1
n
n
a




qator shartli yaqinlashuvchi qator deb ataladi. 
 8-misol
. 
1
( 1)
n
n
n





shartli yaqinlashuvchi qator. Chunki 
1
1
( 1)
1
n
n
n
n
n









uzoqlashuvchidir. 
 
1
1
,
k
k
k
k
b
b
b q



 

 koʻrinishdagi qator geometrik qator deyiladi. Yuqorida 
koʻrilgan misolda bu qator 
| | 1
q

 shart bajarilganda yaqinlashadi va uning 
yig‘indisi 
1
b
q

 ga teng. 
 Geometrik 
progressiya 
moliyaviy jarayonlar tahlilida koʻplab tatbiqlarga 
ega.  
 9-misol. 
Toʻlovlar oqimining joriy qiymati. t
 davrdagi 
V  miqdordagi 
mablag‘ning joriy bahosi, deb 
(1
)
t
V
i

 miqdorga aytiladi. Har yilning boshida 
V  
miqdorda pul toʻlab boriladigan toʻlovlar oqimini qaraymiz. Bir davrga mos foiz 

 
17 
stavkasi  P  % ga teng boʻlsin, 
100
P
i

. U holda bu toʻlovlar oqimining joriy 
qiymati  
0
(1
)
T
T
k
k
V
PV
i




 
 ga teng. Agar toʻlovlar oqimi yetarlicha uzoq davrga davom ettirilsa, 
0
0
lim
(1
)
(1
)
T
k
k
T
k
k
V
V
PV
i
i










 
qatorni hosil qilamiz. Bundan, 
(1
)
V
PV
i
i

 . 
 10-misol.
 Firmaning ma’lum mahsulotni sotish hajmi har yili 
(1
)
g

 
koeffisiyent bilan ortib boradi. Yillik foiz stavkasi 
i  ga teng boʻlsin. U holda 
foydaning umumiy yig‘indisi 
1
1
lim
(1
)
T
k
T
k
GB
p
g






 
ga teng boʻlib, uzoqlashuvchi qatordan iborat. Keltirilgan joriy foyda  
1
1
1
1
1
1
(1
)
(1
)
lim
.
(1
)
(1
)
k
k
T
k
k
T
k
k
t
p
g
p
g
PVB
i
i

















 
 Agar 
g i

 boʻlsa, bu qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi  
(1
)
1
1
1
p
p
i
PVB
g
p g
i







 
ga teng. 
 11-misol.
 Ma’lum bir korxona ishlab chiqarish quvvatini oshirish maqsadga 
muvofiqligini tahlil qilmoqchi. Uning xarajat va daromadlari quyidagicha: 
 
Qurilish xarajatlari 
200 million 
100 million 
1- yilning boshida 
Keyingi har uch yil boshida 
Tashkiliy xarajatlar 
5 million 
4-yilning oxiridan boshlab har yili 
Daromad 
30 million 
4-yilning oxiridan boshlab har yili 
 
 
Bank foiz stavkasi 6%. Shu holatni tahlil qilamiz.  Buning uchun xarajat va 
daromadlarning joriy bahosini taqqoslash zarur. 
6
2
3
100
100
100
200
10
467 301,195.
1,06 1,06
1,06
qurilish xarajatlari
PV












 

 
18 
4
4
1
25000000
25000000
330 039,026
1,06
0,06 1,06
daromad tashkiliy xarajat
k
k
PV









. 
Bundan koʻrinib turibdiki, qurilish xarajatlari uzoq vaqt davomida olinadigan 
daromadning umumiy miqdoridan ancha ortiq. Demak, bu loyihaga pul tikish 
tavsiya qilinmaydi. 
 
12-misol. Keynisian koeffisiyentlari modeli. 
Faraz qilaylik, davlat 
iqtisodiyotga ma’lum maqsadga yoʻnaltirilgan 
A
 miqdorda investitsiya kiritgan 
boʻlsin. Bu mablag‘ ishchilarga va korxonalarga ajratiladi. Deylik, korxona yoki 
shaxslar oʻz mablag‘ining 
%
P
 miqdorini davlatning ichki mahsulotlarini sotib 
olishga sarflasin. U holda investitsiya ikkinchi marotaba aylanadi va yana 
100
AP
miqdorda qayta effekt beradi, uchinchi aylanmada 
2
100
P
A





, toʻrtinchisida 
3
100
P
A





 va hakozo. Kiritilgan 
A
 investitsiyaning umumiy effekti 
1
1
100
1
100
k
k
P
P
A
P




 






 ga teng boʻladi. 
 
Misol uchun, davlat yoʻl ta’mirlashga 
100
 million soʻm sarflasin. Aholi oʻz 
mablag‘ining 60% qismini ichki mahsulotlarga sarflasin. U holda bu mablag‘ning 
umumiy effekti 
 
100 000 000
250 000 000
1 0,6


 
soʻmga teng boʻladi, ya’ni, sarflanganidan 2,5 marta ortiq. 
 
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1.  Qator, deb nimaga aytiladi? 
2.  Geometrik qatorni yozing. 
3.  Qatorning qoldig‘i nima? 
4.  Garmonik qatorni yozing. U yaqinlashuvchimi? 
5.  Koshi kriteriyasi yordamida qatorni yaqinlashishga qanday tekshiramiz? 
6.  Qanday qatorga musbat qator deyiladi? 
7.  Musbat qatorlarni taqqoslash deganda nimani tushunasiz?  
8.  Dalamber alomatini ayting. 
9.  Koshining radikal, integral alomatini ayting. 
 
 

 
19 
21-mavzu. Bir va koʻp oʻzgaruvchili funksiyalar. 
Kobb-Duglas funksiyasi 
 
Reja:
 
21.1.  Bir va koʻp oʻzgaruvchili funksiya haqida tushuncha. 
21.2.  Funksiya aniqlanish sohasi va qiymatlar toʻplami. 
21.3.  Bir oʻzgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. 
21.4.  Teskari funksiya. 
21.5.  Chegaralangan funksiya. 
21.6.  Qavariq va botiq funksiyalar haqida tushuncha. 
21.7.  Foydalilik funksiyasi. Kobb-Duglas funksiyasi. 
 
 
Tаyanch soʻz va ibоrаlаr:
  n-oʻzgаruvchili funksiya, bir oʻzgаruvchili 
funksiya, funksiya аniqlаnish sоhаsi, funksiya qiymаtlаr toʻplаmi, bir oʻzgаruvchili 
funksiya grаfigi, juft funksiya, tоq funksiya, dаvriy funksiya, oʻsuvchi funksiya, 
kаmаyuvchi funksiya, mоnоtоn funksiya, tеskаri funksiya, chеgаrаlаngаn 
funksiya, qаvаriq funksiya, bоtiq funksiya, foydalilik funksiyasi, Kobb-Duglas 
funksiyasi. 
 
 Funksiya 
tushunchasini kiritishdan oldin oʻzgarmas va oʻzgaruvchi 
tushunchalarini kiritib olamiz. 
 
1-ta’rif.
 Agar biror-bir kattalik doimo faqat bitta son qiymatini saqlab qolsa, u 
holda bu kattalikka oʻzgarmas kattalik deyiladi. Oʻzgarmas kattaliklar 
C
const

 
koʻrinishda yozilib, koʻp hollarda  , , , , ,...
a b c m n
 harflari bilan belgilanadi. 
 
2-ta’rif.
 Agar biror-bir kattalik turli sonli qiymatlarni qabul qilsa, u holda bu 
kattalikka oʻzgaruvchi deyiladi. Oʻzgaruvchilar 
, , , ...
x y z
 harflari bilan 
belgilanadi. 
 
3-ta’rif.
 Agar 
X
 toʻplamning har bir 
x
X

 elementiga 
Y
 toʻplamning bitta va 
faqat bitta  y Y
  elementi qandaydir  f  qonuniyat bilan mos qoʻyilgan boʻlsa, u 
holda bu toʻplamlar orasida funksional bog‘lanish mavjud deyiladi va  :
f X
Y
  
koʻrinishda yoziladi. 
 
 Shuningdek, 
f
 funksiya  X  toʻplamni  Y  toʻplamda akslantiradi, deb ham 
ataladi. 

 
20 
 Agar 
1
,
n
X
R
Y
R


 boʻlsa, u holda 
f
 qonuniyat funksiya deb ataladi. 
Biz haqiqiy sonlar toʻplamida ish koʻrganimiz sababli bundan keyin 
f
 qonuniyat 
oʻrniga funksiya atamasini ishlatamiz. 
 
x
X

 toʻplam 
f
 funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va 
( )
D f
 kabi 
belgilanadi. 
y Y

 toʻplam 
f
 funksiyaning qiymatlar toʻplami deyiladi va 
( )
E f
 
kabi belgilanadi. 
 
Shuni ham alohida ta’kidlash kerakki, 
( )
y
f x

 funksiya: 
1
R
 fazoda 
( )
y
f x

 koʻrinishda; 
2
R
 fazoda 
1
2
( ,
)
y
f x x

 yoki 
1
2
( ( ,
))
y
f x x x


 koʻrinishda; 
3
R
 fazoda 
1
2
3
( ,
,
)
y
f x x x

 yoki 
1
2
3
( ( ,
,
))
y
f x x x x


 va 
n
R
 fazoda 


1
2
, ,...,
n
y
f x x
x

 yoki 
 
y
f M

 


1
2
(
, ,...,
)
n
M x x
x
 koʻrinishda yoziladi. 
 Funksiyaning 
aniqlanish 
sohasi uning ma’noga ega boʻlgan nuqtalar (sonlar) 
toʻplamidan iborat boʻladi. Masalan: 
 1) 
( ) ln
y
f x
x


 funksiya 
1
{
:
0}
V
x R x
 

 toʻplamda berilgan bir 
oʻzgaruvchili funksiya; 
 2) 
1
2
2
2
1
2
1
( )
( ,
)
y
f M
f x x
x
x




 funksiya 
2
1
2
{ ( , )
\ (0, 0)}
V
M x x
R O


 
toʻplamda berilgan ikki oʻzgaruvchili funksiya; 
 3) 
2
2
2
1
2
3
1
2
3
( )
( ,
,
)
9
y
f M
f x x x
x
x
x






 funksiya 
3
2
2
2
1
2
3
1
2
3
{ ( , , )
\ (
9)}
V
M x x x
R
x
x
x





 toʻplamda berilgan uch oʻzgaruvchili 
funksiya. 
 1-misol. 
Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohasi va qiymatlar toʻplamini 
aniqlang: 
 1) 


2
log 3
y
x


; 2) 
2
1
2
4
y
x
x


. 
 Yechish.
 1) Bir oʻzgaruvchili 
2
log (3
)
y
x

  funksiya aniqlanish sohasi 
 
D f
: 
3
0
x
 
 tengsizlik yechimidan iborat. 
  

1
: 3
D y
R
 
 . Son oʻqida 


;3

 ochiq nurdan iborat. 
 
0            3 
 Funksiya 
qiymatlari 
toʻplami esa sonlar oʻqidan iborat, ya’ni 
 
1
E f
R

. 
 
2) Funksiya ikki oʻzgaruvchili boʻlib, 
2
1
2
4
y
x
x


 funksiyaning aniqlanish 
sohasi 
 


2
2
2
1
2
1
,
;
4
x
D f
M x x
R x









. 

 
21 
 
Funksiyaning qiymatlari toʻplami 
 


0;
E f


. 
 
Biz asosan, bir oʻzgaruvchili funksiya grafigi va xossalari bilan tanishib 
chiqamiz. Asosiy tushunchalarni esa koʻp oʻzgaruvchili funksiyalar uchun 
beramiz.  
 
( )
f x  funksiyaning 
x a

 nuqtadagi xususiy qiymati  ( )
f a  kabi yoziladi. 
Masalan, 
2
( ) 3
5
7
f x
x
x



 boʻlsa  (0)
7,
(1) 1
f
f
 
  boʻladi. 
 
( )
f x
 funksiyaning grafigi deb, mumkin boʻlgan 


1
, ( ) ,
( )
x f x
x D f
R


 
juftliklarning 
xO y
 tekislikdagi geometrik oʻrniga aytiladi. 
 Masalan, 
2
1
y
x


 funksiyaning grafigi markazi  (0,0)
O
 va radiusi 
1
R

 
boʻlgan yuqori yarim aylanadan iborat.  
 
( )
f x  funksiya berilgan, deyiladi, agar ma’lum 
x
 uchun 
y
 ning qiymatini 
topish mumkin boʻlgan qoida mavjud boʻlsa. Odatda, funksiya uchta usulda 
beriladi: analitik (takomillashgan usul, chunki matematik analiz metodlarini 
qoʻllab 
( )
y
f x

 funksiyani toʻla tekshirish mumkin), jadval va grafik. 
 
1
R
 fazoda 
V
 qism toʻplam va unda aniqlangan 
 
y
f x

 funksiya berilgan 
boʻlsin. 
 
4-ta’rif.
 Agar har qanday 
x V

 uchun 
 
 
 
 


f
x
f x
f
x
f x
 
  
 tenglik 
oʻrinli boʻlsa, 
 
y
f x

 funksiya 
V
 toʻplamda juft (toq) funksiya deyiladi. 
 
 
Juft funksiya grafigi 
Oy
 oʻqiga nisbatan simmetrik, toq funksiyaning grafigi 
esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik boʻladi. 
 Masalan, 
2
,
n
y x
n N


, 
2
1 x
y


, 
x
y ln

 – juft funksiyalar; 
2 1
,
n
y x
n N



, 
x
y
sin

 - toq funksiyalar; 
x
y
x
y



,
2
 funksiyalar 
juft ham emas va toq ham emas. 
 
5-ta’rif.
 Agar 
 
y
f x

 funksiya uchun shunday bir musbat 
T
 son mavjud 
boʻlsaki, funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday 
x
 va 
x T

 nuqtalar 
uchun 


 
f x T
f x


 tenglik bajarilsa, 
 
y
f x

 funksiya davriy funksiya 
deyiladi. Bu yerda 
T
 soni funksiya davri deyiladi. 
 
 
Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichik davrini topish masalasi 
qoʻyiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat boʻladi. Masalan, 


5sin 0,25
y
x


 funksiyaning eng kichik musbat davri  

 
22 
2
8
0,25
T



 . 
 
6-ta’rif.
 Agar 
 
y
f x

 funksiya 
1
V R

 toʻplamda aniqlangan boʻlib, uning biror-
bir 
1
V  qism toʻplamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan 
1
x  va 
2
x  nuqtalar uchun  
 
 
 
 


1
2
1
2
1
2
x
x
f x
f x
f x
f x




 munosabat bajarilsa, u holda 
 
y
f x

 funksiya 
1
V  toʻplamda oʻsuvchi (kamaymaydigan) funksiya deyiladi. 
7-ta’rif.
 Agarda 
 
y
f x

 funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli 
1
V  toʻplamdan 
ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki 
1
x  va 
2
x  nuqtalar uchun 
 
   
 


1
2
1
2
1
1
2
x
x
f x
f x
f x
f x




 tengsizlik bajarilsa, 
 
y
f x

 funksiya 
1
V
 
 toʻplamda kamayuvchi (oʻsmaydigan) funksiya deyiladi. 
 
 
Oʻsuvchi va kamayuvchi funksiyalar qat’iy monoton funksiyalar deyiladi. 
Masalan, 
3
2
y
x


 funksiya oʻzining 
1
R
 aniqlanish sohasida qat’iy monoton 
oʻsuvchi funksiyaga misol boʻlsa, 
3
2
y
x
  
 funksiya esa kamayuvchi 
funksiyaga misol boʻla oladi.