M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

90 
. 
Quyidagi belgilash kiritamiz: 
. 
Bu yerda 
. 
 funksiyaga 
 Lagranj 
oʻrta qiymat teoremasini:
 qoʻllaymiz: 
.   
 
 
(13) 
Bu yerda: 
.   (14) 
(13) tenglikni (14) dan foydalanib quyidagicha yozib olamiz: 
. (15) 
Bu tenglik ikki oʻzgaruvchili funksiya uchun Lagranj funksiyasi deb ataladi. 
 Lagranj 
oʻrta qiymat teoremasining umumlashmasi Teylor oʻrta qiymat 
teoremasi yoki kengaytirilgan oʻrta qiymat teoremasi koʻp holarda Teylor 
formulasi deb atalib quyidagi koʻrinishga ega: 
. (16) 
(15) formulani 
  uchun keltirib chiqaramiz. Buning uchun 
  funksiyani 
  kesmada Teylor formulasini 2-tartibli 
hadi bilan yozib olamiz: 
  
(17) 
(14) formulani differensiallab quyidagiga ega boʻlamiz: 
. 
(14) ga asosan 
 
boʻlgani uchun (17) quyidagi 
koʻrinishga ega boʻladi: 
. 
 
Bu formula ikkioʻzgaruvchili funksiya uchun Teylor oʻrta qiymat teoremasi 
deb ataladi. 
 Bu 
ikkita 
oʻrta qiymat teoremasini uch va undan koʻp oʻzgaruvchili 
funksiyalar uchun ham qoʻllash mumkin. 
 
11-misol. 
  nuqtada 
  funksiya uchun Lagranj va 
Teylor oʻrta qiymat teoremasini yozing. 
 
Yechish
. Bu funksiya uchun Lagranj oʻrta qiymat teoremasi quyidagi 
koʻrinishga ega boʻladi: 
(
,
)
( , )
f a h b k
f a b



( )
(
,
)
t
f a ht b kt




(0)
( , ), (1)
(
,
)
f a b
f a h b k






( )
t

[0;1]
( )
( ) (
) ( ),
( ; )
f a
f b
b a f
a b
 





(1)
(0) (1 0) ( ),
(0;1)


  


 

( )
(
,
)
(
,
)
x
y
t
hf a ht b kt
kf a ht b kt










(
,
)
( , )
(
,
)
(
,
)
x
y
f a h b k
f a b
hf a h b k
kf a h b k















2
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( ) ...
( ),
( , )
1!
2!
!
n
n
b a
b a
b a
f b
f a
f a
f a
f
a b
n
 








 

( , )
f x y
( )
(
,
)
t
f a ht b kt




[0;1]
2
1 0
(1 0)
(1)
(0)
(0)
( ),
( , )
1!
2!
a b



  








2
2
( )
(
,
) 2
(
,
)
(
,
)
xx
xy
yy
t
h f a ht b kt
hkf a ht b kt
k f a ht b kt














(0)
( , )
( , )
x
y
hf a b
kf a b






2
2
(
,
)
( , ) [
( , )
( , )]
1
[
(
,
) 2
(
,
)
(
,
)],
(0;1)
2!
x
y
xx
xy
yy
f a h b k
f a b
hf a b
kf a b
h f a
t b
t
hkf a
t b
t
k f a
t b
t




























(1;2)
M
2
2
( , )
f x y
x
y



 
91 
. 
Bu yerda 
 
boʻlsa tenglik oʻrinli boʻladi. 
 
U holda bu funksiya uchun Teylor oʻrta qiymat teoremasini yozamiz va bu 
teorema quyidagi koʻrinishga ega boʻladi: 
 
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyalarning 
 ekstremum nuqtasini topishni ikki 
oʻzgaruvchili 
 funksiya misolida koʻrib chqamiz. 
 nuqta 
atrofida 
 uchun Teylor formulasini yozamiz: 
. 
  (18) 
Bu yerda 
 boʻlgani uchun (18) formulani quyidagicha yozish mumkin: 
. 
Quyidagi belgilashlar kiritamiz: 
,  
boʻlsin. U holda: 
 
1) agar 
 boʻlsa, 
 statsionar nuqta funksiyaning lokal 
ekstremum nuqtasi boʻlib: 
 a)   
boʻlsa, 
 statsionar nuqta maksimum nuqta; 
 b)   
boʻlsa, 
 statsionar nuqta minimum nuqta boʻladi. 
 
2) agar 
 boʻlsa, u holda 
 statsionar nuqta ekstremum nuqta 
boʻlmaydi; 
 
3) agar 
 boʻlsa, u holda nuqtaning ekstremum nuqtasi boʻlishi 
ham, boʻlmasligi ham mumkin. Bu holda qoʻshimcha tekshirish talab etiladi. 
 12-misol. 
10-misolda keltirilgan funksiyaning 
 statsionar nuqtasini 
ekstremumga tekshiramiz: 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1
)
(2
)
1
2
2 (1
) 2 (2
)
1
2
2
2
4
2
(1
2
2
) (2
4
2
)
h
k
h
h
k
k
h
h
k
k
h
h
k
k









 





 










1
(0;1)
2

 
2
2
2
2
2
2
1
(1
)
(2
)
1
2
2 1 2 2
(2
2 )
2
h
k
h
k
h
k



 

 
 


2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
4
(1
2
) (2
4
).
h h
k k
h h
k k
 










0
M
( , )
z
f x y

0
( , )
M a b
( , )
f x y
2
2
(
,
)
( , ) [
( , )
( , )]
1
[
( , ) 2
( , )
( , )]
2!
x
y
xx
xy
yy
f a h b k
f a b
hf a b
kf a b
h f x y
hkf
x y
k f
x y














0
x
y
f
f


2
2
1
(
,
)
( , )
[
( , ) 2
( , )
( , )]
2!
xx
xy
yy
f a h b k
f a b
h f x y
hkf
x y
k f
x y









2
2
0
0
2
1
1
2
(
)
(
)
,
,
f M
f M
A
B
x
x x





 
 
C
x
M
f



2
2
0
2
A B
B C
 
2
0
B
AC
 


0
M
0
A

0
M
0
A

0
M
0
2

 AC
B
0
M
0
2

 AC
B
)
4
;
1
(
0

M
 
 
.
2
;
1
)
(
;
2
2
2
0
2
2
1
0
2
2
1
0
2














x
M
f
C
x
x
M
f
B
x
M
f
A
,
0
3
2
2
)
1
(
2
2







 AC
B

 
92 
boʻlgani uchun 
 statsionar nuqta ekstremum va 
 boʻlganidan 
minimum nuqta boʻladi. 
 Endi 
koʻp oʻzgaruvchil funksiya uchun ekstremumni topish masalasini 
koʻrib chiqamiz. 
 nuqta 
funksiyaning statsionar nuqtasi boʻlsin.  
 
 stаtsiоnаr nuqtа lokal ekstrеmаl nuqtа boʻlishi uchun shu nuqtаdа 
quyidаgi  
 
mаtritsаning (Gesse matrisasi) ishorasi aniqlangan boʻlishi yetarli. 
 Agar 
 
musbаt aniqlangan boʻlsa, u holda 
 nuqta minimum nuqta; 
 
Agar 
 manfiy aniqlangan boʻlsa, u holda 
 nuqta maksimum 
nuqta boʻladi. 
 
Ishorasi aniqlangan matrisalar haqidagi ba’zi tushunchalarni keltirib oʻtamiz. 
 tartibli kvadrat 
 simmetrik matrisa berilgan boʻlsin.  
 
 matrisaning yuqori chap burchagidan boshlab hosil qilingan 
quyidagi 
tartibli minorlar, ya’ni 
 
minorlar matrisaning bosh minorlari deyiladi. 
 
 matrisaning ketma-ket joylashgan bosh minorlari qat’iy musbat 
sonlar ketma-ketligini tashkil qilganda va faqat shundagina, bu matrisa musbat 
aniqlangan boʻladi. 
 
Agar 
 matrisaning toq nomerda joylashgan bosh minorlariga mos 
son manfiy juft nomerda joylashgan bosh minorlariga mos son musbat boʻlsa, u 
holda 
 matrisa manfiy aniqlanganboʻladi. 
 
 
)
4
;
1
(
0

M
0
2


A
0
X
( )
f X
0
X
2
0
2
0
2
0
2
1
1
2
1
2
0
2
0
2
0
0
2
2
1
2
2
2
0
2
0
2
0
2
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
f X
f X
f X
x
x x
x x
f X
f X
f X
H X
x x
x
x x
f X
f X
f X
x x
x x
x








 
 









  

 













 
 










0
H X




0
X
0
H X




0
X
n n

( )
ij
A
a

( )
ij
A
a

1, 2, ..., n

11
12
1
21
22
2
11
12
11
21
22
1
2
...
...
,
, ...,
...
...
...
...
...
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
( )
ij
A
a

( )
ij
A
a

( )
ij
A
a


 
93 
 13-misol. 
Bеrilgаn funksiyagа ekstrеmаl qiymаt bеruvchi nuqtаlаr tоpilsin: 
 
 Yechish
. Funksiya ekstrеmumi mаvjudligining zаruriy shаrtiga asosan:
 
 
 Bu 
tеnglаmаlardаn tuzilgаn sistеmаning yеchimi 
 
nuqtа 
boʻlаdi. Demak, 
 
statsionar nuqta. 
 Yetаrlilik shаrtining bаjаrilishini tеkshirish uchun 
  nuqtada Gеssе 
mаtrisаsini tuzаmiz: 
.
 
Bu mаtrisаning bоsh minоrlаri mоs rаvishdа -2, 4, -6. Dеmаk, 
  nuqtаdа 
 funksiya mаksimumgа erishаdi. 
 
  funksiya chegaralangan, yopiq    toʻplamda aniqlangan va 
uzluksiz boʻlsin. Funksiya toʻplamining har bir nuqtasida, uning ba’zi nuqtalaridan 
tashqari, xususiy hosilalarga ega boʻlsin. Ushbu holda,    toʻplamga tegishli 
shunday 
 nuqta topiladiki, bu nuqtada 
 funksiya oʻzining eng katta (eng 
kichik) qiymatiga erishadi. Funksiya   toʻplamda oʻzining eng katta (eng kichik) 
qiymatini nafaqat ichki 
  statsionar nuqtada balki xususiy hosilalaridan biri 
mavjud boʻlmagan nuqtada, shu bilan birga    toʻplamning chegarasida ham 
erishishi mumkin.  
 
Yuqoridagilarni e’tiborga olib, 
  funksiyaning berilgan    toʻplamda 
eng katta va eng kichik qiymatlarini topish jarayonini quyidagi ketma-ketlikda 
amalga oshiriladi: 
 a) 
  toʻplamning 
  funksiya xususiy hosilalari mavjud boʻlmagan 
nuqtalari aniqlanadi; 
 b)    funksiyaning    toʻplamga tegishli barcha statsionar nuqtalari 
topiladi; 
2
3
2
2
2
1
3
2
3
1
3
2
1
2
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f






1
1
3
2
2
2
3
3
1 2
0,
2
0,
2
2
0.
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x

 



 



  


0
1 2 4
, ,
2 3 3
X 





0
1 2 4
, ,
2 3 3
X 
 




0
X
0
2
0
0
0
2
1
0
1
2
H X






 


 






0
X
1
2
3
( ,
,
)
f x x x
( )
y
f X

V
V
0
X
( )
f X
V
0
X
V
( )
f X
V
V
( )
f X
( )
f X
V

 
94 
 
c) barcha aniqlangan nuqtalarga va   toʻplam chegarasida 
 funksiya 
qiymatlari hisoblanadi va oʻzaro solishtiriladi. Ulardan eng kattasi (eng kichigi) 
 funksiyaning   toʻplamda erishadigan eng katta (eng kichik) qiymati 
hisoblanadi. 
 
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1.
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiya diffеrеnsiаli. 
2.
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyaning хususiy hоsilаsi. 
3.
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyani uzluksizligi. 
4.
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyaning toʻlа diffеrеnsiаli. 
5.
 
Funksiyaning lokal ekstremumlari.  
6.
 
Statsionar nuqta. 
7.
 
Funksiyaning 
0
M
 nuqtadagi gradienti. 
8.
 
Teylor formulasi. 
9.
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiya ekstremumi. 
10.
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiya ekstrеmumining zаruriy shаrti. 
11.
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiya ekstrеmumining yеtаrli shаrti. 
12.
 
Shartli ekstremum. 
 
 
30-mavzu. Shartsiz va shartli ekstremum masalasi. Lagranj metodi 
 
Reja:
 
30.1.
 
Shartli ekstremum masalasi. 
30.2.
 
Lagranj koʻpaytuvchilari qoidasi. 
30.3.
 
Lagranj koʻpaytuvchilarining iqtisodiy talqini. 
 
 
Tayanch soʻz va iboralar: 
minimum, maksimum, shartli ekstremum 
masalasi, Lagranj koʻpaytuvchilari qoidasi.
 
 
 Ma’lumki, 
ishlab 
chiqaruvchining 
maqsadi maksimal foyda olishdir. 
Iste’molchiga kelsak u oʻzining shaxsiy daromadini koʻpaytirishga harakat qiladi. 
Shu sababli iste’molchi turli faktorlarni e’tiborga olgan holda sotib oladigan 
mahsulotini tanlaydi. Iste’molchini qanoatlantiradigan sonni   bilan belgilaymiz 
va uni iste’molchining foydasi, deb ataymiz. Iste’molchining imkoniyatlar 
chegaralanganligi sababli u   sonni minimallashtirishga harakat qiladi. 
 
Faraz qilaylik, ikki turdagi  
mahsulotalr 
boʻlib, iste’molchi birinchi 
mahsulotdan   miqdorda, ikkinchi mahsulotdan esa 
 miqdorda olsin. U holda 
V
( )
f X
( )
f X
V
f
f
1
2
,
G G
1
x
2
x

 
95 
iste’molchining foydasi 
 funksiya koʻrinishida ifodalanadi. Iste’molchi 
olishi kerak boʻlgan mahsulotlar turi ortishi bilan   funksiyada oʻzgaruvchilar 
soni ham ortadi. 
 
Biz shartli ekstremum masalasini yechish metodlari bilan tanishib chiqamiz. 
Bunda: 
 
• Resurslar va turli faktorlar bilan chegaralangan ishlab chiqaruvchi 
faoliytani. 
 
• Shaxsiy byudjetini ratsional taqsimlaydigan iste’molchi faoliyatini 
optimallashtirish masalalari koʻriladi. 
 
Shartli ekstremum masalasi quyidagicha qoʻyiladi: 
                                               (1) 
                                       (2) 
Shartli ekstremum masalasi masalaning mumkin boʻlgan yechimlar toʻplami: 
 
boʻsh toʻplam boʻlmagandagina ma’noga ega. 
 Koʻp hollarda (1)-(2) masalaning yechimi mavjudligini isbotlash uchun 
uzluksiz funksiyaning minimumi haqidagi Veyershtrass teoremasidan foydalanish 
yetarli hisoblanadi. 
 
(1)-(2) masala global shartli ekstremum masalasi boʻlib, bu masala oʻz 
ichiga shartsiz ekstremum masalasini ham oladi. Soddalik uchun shartli minimum 
masalasini qaraymiz: 
                              
 
 (3) 
                               (4) 
mаsаlаning yеchimini topish tаlаb qilinsin. 
 
(3)-(4) masalani yechishning eng sodda klassik usuli noma’lumlarni 
yoʻqotish usulidir. Bunda: 
 
tenglamalar sistemasidan 
 ta noma’lumlarni, masalan, 
 
noma’lumlar topilib 
 ta 
 
 
funksiyani hosil qilamiz. Bu esa shartsiz minimum masalasidir: 
 (5) 
1
2
( , )
f x x
f
 
min(max)
f X

 
0,
1,2,...,
i
g X
i
m


 
 
 


0
...,
,
0
,
0
:
2
1




X
g
X
g
X
g
X
K
m
 
min
f X

 
0,
1,2,...,
i
g X
i
m


 
m
i
X
g
i
,...,
2
,
1
,
0


m






1
1
1
2
2
1
1
,...,
,
,...,
,
...........................,
,...,
m
n
m
n
m
m
m
n
x
h x
x
x
h x
x
x
h x
x






n m

1
,....,
m
n
x
x









n
m
n
m
m
n
m
n
m
x
x
x
x
h
x
x
h
f
x
x
,...,
,
,...,
,...,.
,...,
,...,
1
1
1
1
1














1
1
1
1
1
,...,
,...,
,...,.
,...,
,
,...,
min
m
n
m
n
m
m
n
m
n
x
x
f h x
x
h x
x
x
x






