M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

8-ta’rif.
 
 
y
f x

 funksiya 
 
1
D f
R

 sohada aniqlangan boʻlib, 
 
E f
 soha 
uning qiymatlar toʻplami boʻlsin. Agar bu funksiya uchun 
 
1
2
1
2
1
2
,
,
( )
( )
x x
D f
x
x
f x
f x





 munosabat bajarilsa, u holda, har bir 
 
y E f

 songa 
 
x g y

 tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir 
 
x D f

 sonni 
mos qoʻyish mumkin, boshqacha aytganda, 
 
E f
 toʻplamda berilgan 
 
y
f x

 
funksiyaga teskari 
 
x g y

 funksiyani aniqlash mumkin. 
 
 Agar 
 
y
f x

 funksiyaga teskari 
 
x g y

 funksiya mavjud boʻlsa, u holda 
 
y
f x

 funksiyaning qiymatlari toʻplami 
 
E f
 unga teskari 
 
x g y

 funksiya 
uchun aniqlanish sohasi, 
 
y
f x

 funksiyaning aniqlanish sohasi 
 
D f
 esa 
 
x g y

 teskari funksiya uchun qiymatlar toʻplami boʻladi. 
 
9-ta’rif.
 
 
,
a b
 kesmada aniqlangan, qat’iy monoton va uzluksiz 
 
y
f x

 
funksiya, 
   
,
f a
f b



  kesmada aniqlangan, qat’iy monoton va uzluksiz 
 
x g y

 teskari funksiyaga ega. 

 
23 
 Masalan, 
sin
y
x

 funksiya 
,
2 2
 







 kesmada aniqlangan, qat’iy monoton 
oʻsuvchi va uzluksiz boʻlganligi sababli, u 


1, 1

 kesmada aniqlangan, qat’iy 
oʻsuvchi va uzluksiz 
arcsin
x
y

 teskari funksiyaga ega. 
 
Oʻzaro teskari 
 
f x
 va 
 
g x
 funksiya grafiklari birinchi va uchinchi 
chorak simmetriya oʻqi 
y
x

 toʻg‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik boʻladi. 
 
10-ta’rif.
 Agar 
 
1
V
D f

 
nuqtalar toʻplamida berilgan 
 
y
f x

 funksiyaning 
1
V  
toʻplamda erishadigan qiymatlar toʻplami yuqoridan (quyidan) chegaralangan 
boʻlsa, u holda 
 
y
f x

 funksiya 
1
V  toʻplamda yuqoridan (quyidan) 
chegaralangan deyiladi. 
 
 Demak, 
 
y
f x

 funksiya yuqoridan (quyidan) chegaralangan boʻlsa, u 
holda shunday  K  son mavjud boʻladiki, barcha 
1
M V
  nuqtalar uchun 
 
 


f M
K
f M
K


 tengsizlik oʻrinli boʻladi.  
 
11-ta’rif.
 Agar 
 
y
f x

 funksiya 
 
1
V
D f

 nuqtalar toʻplamida ham quyidan, va 
ham yuqoridan chegaralangan boʻlsa, u holda 
 
y
f x

 funksiya 
1
V  toʻplamda 
chegaralangan funksiya deb ataladi. 
 
 Agar 
 
1
V
D f

 boʻlsa, 
 
y
f x

 funksiya aniqlanish sohasida 
chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari toʻplami chegaralangan sonlar 
toʻplamidan iborat boʻladi. 
 2-misol.
 1) Bir oʻzgaruvchili
 
2
y x

 funksiya 
1
R
 aniqlanish sohasida 
quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki 
 


0;
E f


; 
 2) 
2
2
1
2
1
y
x
x



 funksiya oʻz aniqlanish sohasi 
 




2
2
1
2
2
1
2
,
\
1
D f
M x x
R
x
x



  toʻplamda chegaralangandir, chunki 
 
 
0;1
E f

. 
 
12-ta’rif.
 
 
y
f x

 funksiya 
n
V
R

 qavariq toʻplamda aniqlangan boʻlsin. Agar 
V
 qavariq toʻplamga tegishli har qanday 


1
1
1
1
1
2
,
, ...,
n
M x x
x
 va 


2
2
2
2
1
2
,
, ...,
n
M x x
x
 
nuqtalar va ixtiyoriy 
0
1

 
 son uchun  

 
24 


  
  


  
  


1
2
1
2
1
2
1
2
(1
)
1
(1
)
1
f
M
M
f M
f M
f
M
M
f M
f M








 

 
 

 
 
tengsizliklar oʻrinli boʻlsa, u holda, 
 
y
f x

 funksiya 
V
 toʻplamda qavariq 
(botiq) funksiya deyiladi. 
 
 Masalan, 
2
y x

  funksiya 
1
R
 fazoda botiq funksiyaga misol boʻlsa, 
2
y
x
 
 
funksiya esa 
1
R
 fazoda qavariq funksiyaga misol boʻladi.  
 
n
-oʻzgaruvchili chiziqli 
1 1
2 2
...
n n
y a x
a x
a x


 
 funksiya 
n
R
 fazoda bir 
vaqtda ham qavariq va ham botiq funksiyadir. 
 
Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega: 
1) 
 
f M
 funksiya 
V
 toʻplamda botiq boʻlgandagina, 
 
f M
 funksiya 
V
 
toʻplamda qavariq funksiya boʻladi. 
2) 
 
1
f M
 va 
 
2
f M
 funksiyalar 
V
 toʻplamda qavariq boʻlsa, ularning 
ixtiyoriy nomanfiy 
1
k  va 
2
k  koeffisiyentli chiziqli 
 
 
1 1
2 2
k f M
k f M

   
kombinatsiyalari ham 
V
 toʻplamda qavariq boʻladi. 
3) 
 
f M
 funksiya 
V
 toʻplamda qavariq boʻlib, 
 


:
P
M V f M
b



 
toʻplam boʻsh boʻlmasin. U holda 
P
 toʻplamning oʻzi ham qavariq toʻplamdir. Bu 
yerda 
b
 ixtiyoriy son. 
 
Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga oʻxshash xossalarga ega. 
n
V
R

 toʻplamda aniqlangan 
1
2
( ,
, ...,
)
n
y
f u u
u

 berilgan boʻlib, har bir 
1
2
(
, ...,
)
n
n
M x x
x
D
R
 
 nuqtaga 
1
2
(
, ...,
)
n
n
N u u
u
D
R
 
 nuqtani mos qoʻyish 
mumkin, ya’ni 
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
(
, ...,
),
(
, ...,
), ...,
(
, ...,
)
n
n
n
n
n
u
x x
x
u
x x
x
u
x x
x






 
boʻlsin. U holda 
n
V
R

 toʻplamda 
1
2
( ( ),
( ), ...,
( ))
n
y
f
M
M
M




  
funksiya aniqlangan va 
1
2
, ...,
n
x x
x   oʻzgaruvchilarga nisbatan esa 
n
D
R

 
toʻplamda murakkab funksiya deyiladi. 
 Masalan, 


2
1
16
,
4
4 ;
2cos4 ,
y
u
V
u
u
x x R


   


  boʻlsin. U 
holda 
1
R
 fazoda 
2
16 4cos 4
y
x


 murakkab funksiyani aniqlash mumkin.  
 
n
V
R

 toʻplamda aniqlangan 
1
2
( ,
, ...,
) 0
n
F u u
u
  tenglamaga oshkormas 
funksiya deyiladi. Masalan, 
2
2
2
2
1
x
y
a
b

 , 
2
2
2
2
1
x
y
a
b

  funksiyalar oshkormas 
funksiyalardir. 

 
25 
 
E
 toʻplamda 
( ),
( )
x
t
y
t




 funksiyalar berilgan boʻlib, 
( )
x
t


 
funksiyaga teskari 
1
( )
t
x



 funksiya berilgan boʻlsin. U holda 
E
 toʻplamda 
1
(
( ))
y
x
 


 murakkab funksiya berilgan deyiladi. 
 
E
 toʻplamda berilgan 
( ),
( )
x
t
y
t




 funksiyalar 
1
(
( ))
( )
y
x
f x
 



 
funksiyaning parametrik koʻrinishi deyiladi. 
 3-misol.
 1) 
cos ,
0,
sin
2
x
t
t
y
t













 funksiyalar 
2
sin(arcsin )
1
y
x
x



 
funksiyaning parametrik koʻrinishi boʻladi. 
 2) 


cos ,
0, 2
sin
x a
t
t
y b
t




 

 funksiyalar 
2
2
2
2
1
x
y
a
b

  ellips tenglamasining 
parametrik koʻrinishi boʻladi. 
 Iqtisodiy 
nazariya 
va 
amaliyotda funksiya keng qо‘llaniladi. Iqtisodda 
uchraydigan funksiyalar turlari rang barangdir, chiziqli funksiyadan tortib to 
maxsus funksiya deb nomlanuvchi funksiyalargacha qо‘llaniladi. 
 
Yuqorida keltirilgan elementar funksiyalar deb nomlangan funksiyalarning 
deyarli barchasi iqtisodda qо‘llaniladi. 
 
Iqtisodda tez-tez uchraydigan va о‘zining iqtisodiy nomiga ega bо‘lgan 
funksiyalar qatoriga quyidagilarni keltirish mumkin: 
 
1. Foydalilik funksiyasi. Bu funksiya foydalilikni ma’lum bir faktorlar 
ta’siriga, bog‘liqligini aniqlaydi.  
 
2. Ishlab chiqarish funksiyasi. Bu funksiya ishlab chiqarish faoliyati 
natijasini, shu faoliyatni aniqlovchi faktorlarga bog‘liqligini aniqlaydi. 
 
3. Mahsulot hajmi funksiyasi. Bu funksiya ishlab chiqarishda mahsulot 
hajmining hom-ashyo zaxirasi va iste’molchiga bog‘liqligini aniqlaydi.  
 
4. Sarf-xarajat funksiyasi. Bu funksiya ishlab chiqarishda sarf-xarajatlarni 
mahsulot hajmi bilan bog‘liqligini aniqlaydi.  
 
5. Talab, iste’mol va taklif funksiyalari. Bu funksiyalar mahsulotga bо‘lgan 
talab, iste’mol va taklif hajmlarining turli faktorlarga (masalan, narx-navo, 
daromad va boshqa) bog‘liqligini aniqlaydi. 
 
Ma’lum iqtisodiy jarayonlar kо‘p faktorlar ta’siri natijasida yuzaga kelgani 
uchun yuzaga keladigan funksiyalar kо‘p о‘zgaruvchili funksiyalar bо‘ladi. 
 
Iqtisodiy jarayonlarni tahlil qilishda foydalilik funksiyasi tushunchasidan 
keng foydalaniladi. Bu funksiya iste’molchining biror bir tovarlar vektorini boshqa 
tovarlar vektoridan afzal koʻrishini ifodalaydi. 
 Deylik, 
iste’molchi 
n
 turdagi tovarlardan foydalansin. Bu tovarlar miqdorini 
bildiruvchi tovarlar vektorini 
X
 satr vektor sifatida ifodalaymiz. 
X
 va 
Y
 tovarlar 
orasida 
X Y

 afzallik munosabatini kiritamiz. Bu munosabat iste’molchining 
X
 

 
26 
tovarlar vektorini 
Y
 tovarlar vektoridan afzal koʻrishini ifodalaydi. Misol uchun 
X Y

 boʻlsa, u holda 
X Y

. Bir xil afzallikka ega boʻlgan 
X
 va 
Y
 tovarlar 
vektorlarini farqlanmaydigan tovarlar vektorlari deb ataymiz va 
~
X Y
 kabi 
belgilaymiz. 
 
Afzallik munosabati odatda foydalilik (utility) funksiyasi deb ataluvchi 
( )
U X  funksiya yordamida aniqlanadi. 
 
13-ta’rif. 
Ixtiyoriy 
,
X Y  tovarlar vektorlari uchun 
( )
( )
X
Y
U X
U Y



 va 
( )
( )
X Y
U X
U Y



 shartlarni qanoatlantiruvchi  ( )
U X  funksiyani foydalilik 
funksiyasi deb ataymiz. 
 
 
Odatda foydalilik funksiyasining qiymati emas, turli tovarlar vektoriga mos 
qiymatlari orasidagi “katta”, “kichik” yoki “teng” kabi munosabatlar muhim 
hisoblanadi. Foydalilik funksiyasi har bir alohida oʻzgaruvchisi boʻyicha (boshqa 
oʻzgaruvchilar oʻzgarmas boʻlganda) oʻsuvchi funksiya boʻladi. 
 Muhim 
boʻlgan foydalilik funksiyalaridan biri CES-funksiya deb ataladi. Bu 
funksiya nomidagi CES (constant elasticity of substituion) qisqartmasi alternativ 
(bir-birining oʻrnini bosuvchi) tovarlarning oʻzgarmas elastiklikka egaligini 
bildiradi. Ikki oʻzgaruvchili holda bu funksiya quyidagicha: 


1/
1/
1
2
1
2
( , )
U x x
x
x







. 
 
Bu funksiyaning xususiy holatlarini qaraymiz.  
 1) 
1


 da chiziqli foydalilik funksiyasi hosil boʻladi 
1
2
1
2
( , )
.
u x x
x
x




 
 2) 

 
 da Leontev funksiyasi, deb ataluvchi foydalilik funksiyasi hosil 
boʻladi 
1
2
1
2
( , ) min{ , }
u x x
x x

. 
 3) 
Agar 
1




 boʻlsa, 
0


 da Kobb-Duglas funksiyasi hosil boʻladi 
1
2
1
2
( , )
u x x
x x
 

. 
Bu funksiyalarni 
n
 ta oʻzgaruvchi holatiga ham umumlashtirishimiz mumkin. 
 4-misol. 
Foydalilik funksiyasi 
1
2
3
1
2
3
( , , ) 0,2lg
0,3lg
0,5lg
U x x x
x
x
x



 
formula bilan aniqlangan boʻlsin. 
1
1
(10;100;100),
(100;10;100)
X
X
 tovarlar 
vektorlarini afzallik munosabati yordamida tekshiring. 
 Yechish.
 Foydalilik funksiyasining qiymatlarini topamiz: 
1
2
(
)
(10,100,100) 1,8;
(
)
(100,10,100) 1,7
U X
U
U X
U




  
Bundan, 
1
2
1
2
(
)
(
)
U X
U X
X
X



. 
 Foydalilik 
funksiyasi 
umuman 
olganda yagona aniqlanmaydi. 

 
27 
 
Yuqoridagi misolda keltirilgan 
1
2
3
1
2
3
( , , ) 0,2lg
0,3lg
0,5lg
U x x x
x
x
x



 
foydalilik funksiyasi yordamida 
1
2
3
( , , )
0,2 0,3 0,5
1
2
3
10
U x x x
x x x

 Kobb-Duglas foydalilik 
funksiyasini hosil qilish mumkin. 
 Kobb-Duglas 
funksiyasidan 
ishlab chiqarish funksiyasi sifatida ham 
foydalaniladi.  
( , )
Q L K
A L K


 
 
ishlab chiqarish funksiyasida Q
ishlab chiqarilgan mahsulot miqdori, 
L
 - mehnat 
resurslariga sarf xarajatni, 
K
 - ishlab chiqarishga sarflangan kapitalni, 
A
 - 
texnologik koeffisiyent, 

 va 

 elastiklik koeffitsiyenlarini ifodalaydi. Misol 
uchun, 
0,73
0,27
Q L K

 ifodada umumiy ishlab chiqarilgan mahsulot miqdorida 
mehnat resurslari ulushi 73%, kapital mablag‘lar ulushi 27% ni tashkil qilishini 
bildiradi. 
 
Foydalilik funksiyasi yordamida bitta sodda iqtisodiy modelni qaraymiz. 
Faraz qilaylik iste’molchining jami mablag‘i (byudjeti) 
S
 ga teng boʻlsin. U bu 
mablag‘ni bir birligi narxi 
1
2
,
,...,
n
p p
p  boʻlgan 
n
 xil tovar uchun sarflashi 
mumkin. Bu jarayondagi 
1
2
( , ,..., )
n
U x x
x
 foydalilik funksiyasi berilgan boʻlsin. Eng 
afzal tovarlar vektorini topish masalasini qaraymiz.  
 Tovarlar 
vektori 
X
 boʻlsin. Narxlar vektorini 
P
 kabi aniqlaymiz. Bu 
masalada quyidagi cheklovlar mavjud.  
 
1) Har bir turdagi sotib olingan tovarlar miqdori nomanfiy, ya’ni 
0.
X

 
 
2) Iste’molchi byudjeti cheklangan 
1 1
( , )
....
n n
P X
p x
p x
S


 .  
 
Bu cheklovlar byudjet toʻplami  ( , )
B P S  ni aniqlaydi. Demak bizdan  ( , )
B P S  
byudjet toʻplamida  ( )
U X  foydalilik funksiyasini maksimallashtirish talab qilinadi. 
Ma’lumki, ikki tovar qaralgan holatda  ( , )
B P S  byudjet toʻplami 1-chorakda 
joylashgan katetlari koordinata oʻqlarida yotuvchi toʻg‘ri burchakli 
uchburchakdan, uch tovar holatida uchburchakli piramidadan iborat boʻladi. 
 
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1)  Bir vа koʻp oʻzgаruvchigа bоg‘liq funksiya tushunchаsi. 
2)  Bir oʻzgаruvchili funksiyaning аniqlаnish sоhаsi vа qiymаtlаr toʻplаmi. 
Misоllаr kеltiring. 
3)  Bir oʻzgаruvchili funksiyalarning аyrim хоssаlаri  
4)  Bir oʻzgаruvchili funksiyalarning juft-tоqligini aniqlash. 
5)  Bir oʻzgаruvchili funksiyalarning chеgаrаlаngаnligi aniqlash. 
6)  Toʻplamda oʻsuvchi, kamayuvchi funksiyalar. 
7)  Teskari funksiya tushunchаsi. 

 
28 
8)  Koʻp oʻzgаruvchili funksiyaning аniqlаnish sоhаsi vа qiymаtlаr toʻplаmi. 
Misоllаr kеltiring. 
9)  Funksiyalarning dаvriyligi, mоnоtоnligi. 
10)  Toʻplamda qavariq (botiq) funksiya. 
 
 
22-mavzu. Funksiya limiti 
 
Reja:
 
22.1.  Bir oʻzgaruvchili funksiya limiti. Ajoyib limitlar.  
22.2.  Bir oʻzgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va  x
   dagi limitlar. 
22.3.  Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar. 
22.4.  Koʻp oʻzgaruvchili funksiya limiti. 
 
 
Tаyanch soʻz va ibоrаlаr:
 funksiya limiti, ajоyib limit, bir tоmоnlаmа 
(chаpdаn yoki oʻngdаn) limit, funksiyaning chеksizdаgi limiti, chеksiz kichik 
funksiya, chеksiz kаttа funksiya. 
 
 
Amaliyotda funksiya tushunchasi katta ahamiyatga ega boʻlganligi sababli 
biz funksiyani atroflicha oʻrganib chiqamiz. Bizga ma’lumki, 
1
R
 fazoda 
0
x  
nuqtaning 

 atrofi quyidagicha aniqlanadi: 


0
0
( )
:
U x
x x x





. 
( )
y
f x

 funksiya biror
1
V
R
  toʻplamda aniqlangan boʻlsin. 
 
1-ta’rif (Koshi ta’rifi).
 Agar ixtiyoriy 
0

  son uchu shunday  ( ) 0
 
  son 
mavjud boʻlib, 
0
x x



 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha  x  lar uchun 
 
f x
A

 
 tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda 
A
 soni  ( )
f x  funksiyaning 
0
x  
nuqtadagi limiti deyiladi. Bu limit quyidagicha yoziladi 
0
lim ( )
x x
f x
A


. 
 
2-ta’rif (Geyne ta’rifi).
 Agar V  toʻplamga tegishli ixtiyoriy yaqinlashuvchi, 
0
lim
n
n
x
x

 , 
1
2
, ,...,
n
x x
x  ketma-ketlik uchun 
 
x
f
y

 funksiyaning 
1
2
( ), ( ),..., ( )
n
f x
f x
f x  qiymatlaridan tashkil topgan ketma-ketlik ham 
A
 soniga 
yaqinlashsa, intilsa, u holda 
A
soni ( )
f x  funksiyaning 
0
x
x
  dagi limiti deyiladi. 
Bu limit  lim ( )
n
n
f x
A


 
koʻrinishda yoziladi.