M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

 2-misol.
  Inflyatsiya tеmpi bir kundа  %
1   ni  tаshkil etаdi. Yarim yildаn 
soʻng dаstlаbki summа qаnchаgа kаmаyadi.  
 Yechish.
 Murаkkаb foizlаr formulаsini qoʻllаsаk 
182
0
100
1
1





 
 S
S
ni hosil 
qilаmiz, bu еrdа 

0
S
dаstlаbki summа, 

182 yarim yildаgi kunlаr soni. Bu 
ifodаning shаklini аlmаshtirsаk 
82
,
1
0
100
182
100
0
100
1
1
e
S
S
S












 



 ni hosil qilаmiz, 
ya’ni inflyatsiya dаstlаbki summаni tаxminаn 6 mаrtа kаmаytirаdi.  
 Ma’lumki, 
n
R
 fazoda nuqta 
1
2
( , ,..., )
n
M x x
x  koʻrinishda belgilanadi. 
1
2
( , ,..., )
n
M x x
x  nuqtaning 

 atrofi 
( )
U M

 koʻrinishda belgilanib, u markazi 
1
2
( , ,..., )
n
M x x
x  nuqtada boʻlgan 

 radiusli ochiq sharni anglatadi. 
 
 

 
9 
5-ta’rif.
 Agar 
n
R
 fazoda har bir  k N
  songa aniq bir 


1
2
, ,...,
k
k
k
k
n
M x x
x nuqta mos 
qoʻyilgan boʻlsa, u holda 
n
R
 fazoda
 
k
M
 nuqtalar ketma-ketligi berilgan deyiladi. 
 
 Demak, 
n
R
 fazoda nuqtalar ketma-ketligi quyidagi koʻrinishda 




1
1
1
1
1
2
1
2
, ,...,
, ... ,
, ,...,
, ...
k
k
k
n
k
n
M x x
x
M x x
x
 beriladi. 
 
1
M
 birinchi hadi, 
2
M
 ikkinchi hadi, 
k
M
 k hadi deyiladi. Masalan, 
2
R
fazoda 
2
1
2
2
1
1
4 1
;
:
;0 ,
;
4
1 3
2
5
17 8
k
k
k
M
M
M
k
k





















 
 
3
R
 fazoda 


2
3
1
2
3
2
1
1 1
1 4 8
;
;
:
1; ;
,
;
;
3
1
4 8
2 13 27
1
k
k
k
M
M
M
k
k
k






















 
 
4
R
fazoda 
1
2
4
3
4
1
3
1
6
7
;
;...;
:
4; ;...;
;
2; ;...;
5
1
5
10
6
5
11
20
k
k
k
M
M
M
k
k
k





















 
n
R
 fazoda qism osti nuqtalar ketma-ketligi berilgan nuqtalar ketma-ketligidan 
tuziladi va unda hadlarning oldinma-ketin kelish tartibi saqlanadi. Masalan, 
10,20,30,...,10 ,...
m
 sonli ketma-ketlik 5,10,15,...,5 ,...
k
 sonli ketma-ketlikning 
qism osti ketma-ketligidir.  
 Ma’lumki, 
0
,
n
M
M  nuqtalar orasidagi masofa  


2
0
0
1
(
;
)
n
k
k
m
m
m
M M
x
x





 
formula bilan aniqlanadi. 
 
6-ta’rif.
 Agar biror bir C R
  son va biror bir 
0
n
M
R

 nuqta topilib, ixtiyoriy 
k N
  natural son uchun 
0
(
;
)
k
M M
C

  tengsizlik bajarilsa, 
 
k
M
 nuqtalar 
ketma-ketligi chegaralangan, deyiladi. 
 Masalan, 
3
R
 fazoda 
2
2
4
; ;
1
5
k
k
k
M
k
k k








 ketma-ketlik chegaralangan. 
 
n
R
 fazoda 
 
k
M
 nuqtalar ketma-ketligi berilgan boʻlsin. 
 
7-ta’rif.
 Agar ixtiyoriy 
0

  son uchun shunday  ( )
K
N

  son mavjud boʻlib, 
biror 
0
M  nuqta va barcha 
 
m K


 tartib raqamli hadlar uchun 
 
0
k
M
U M


 
boʻlsa, u holda 
0
M  nuqta 
 
k
M
 nuqtalar ketma-ketligining limiti deyiladi va 




0
0
0
1
2
0
1
2
lim
, ,...,
, ,...,
k
k
k
k
n
n
k
M x x
x
M x x
x


 koʻrinishda yoziladi. 

 
10 
 Masalan, 
3
R
 fazoda 
 
4
3
4
1
,
,
5
1 5
10
m
k
k
M
k
k
k









 nuqtalar ketma-ketligi 
berilgan boʻlsin. U holda 
0
4
3
4
1
3 4
lim
,
,
0, ,
.
5
1 5
10
5 5
k
k
k
k
M
M
k
k
k

















 
 
8-ta’rif.
 Agar 
M D

 nuqtaning shunday 
( )
U M

 atrofi mavjud boʻlib, 
( )
U M
D

  boʻlsa, u holda 
M
 toʻplamning ichki nuqtasi deb ataladi. 
 
9-ta’rif. 
Agar toʻplamning barcha nuqtalari ichki nuqtalardan iborat boʻlsa, u holda 
bu toʻplam ochiq toʻplam deb ataladi. 
 
10-ta’rif. 
Agar 
M
 nuqtaning ixtiyoriy atrofida  M
N D
   kabi nuqtalar mavjud 
bolsa, u holda  M D  toʻplamning limit nuqtasi deb ataladi. 
 
11-ta’rif.
 Agar 
M D

 nuqta 
D
 toʻplamning limit nuqtasi boʻlmasa, u holda bu 
nuqta 
D
 toʻplamning izolyatsiyalangan nuqtasu deb ataladi. 
 
12-ta’rif. 
Agar 
M
 nuqtaning har qanday atrofi 
D
 toʻplamning hech boʻlmaganda 
bitta nuqtasini oʻz ichiga olsa, u holda 
M
 nuqta 
D
 toʻplamning urinish nuqtasi 
deb ataladi. 
 
13-ta’rif.
 Agar toʻplamning barcha urinish nuqtalari toʻplamga tegishli boʻlsa, u 
holda bu toʻplam yopiq toʻplam deb ataladi. 
 
Teorema. 
Agar 
n
R
 fazoda nuqtalar ketma-ketligi chekli limitga ega boʻlsa u holda 
bu ketma-ketlik chegaralangan boʻladi. 
 
14-ta’rif.
 Agar nuqtaning har qanday atrofida toʻplamga tegishli boʻlgan nuqtalar 
ham, tegishli boʻlmagan nuqtalar ham mavjud boʻlsa, u holda bu nuqta chegaraviy 
nuqta deb ataladi. 
 
15-ta’rif.
Agar  n -oʻlchovli nuqtalar ketma-ketligi chekli limitgaega boʻlsa, bu 
ketma-ketlik yaqinlashuvchi ketma-ketlik, aks holda uzoqlashuvchi ketma-ketlik 
deyiladi. 
 
 
Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik fundamental ketma-ketlikdir va 
aksincha. 
 

 
11 
 
Yaqinlashuvchi nuqtalar ketma-ketligi uchun quyidagi xossalar oʻrinli: 
 
1) Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangandir. 
 
2) Har bir chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik 
ajratish mumkin. 
 3) 
n
-oʻlchovli nuqtalar ketma-ketligi 
0
M  nuqtaga yaqinlashsa, u holda 
uning har bir qism ketma-ketligi ham 
0
M  nuqtaga yaqinlashadi. 
 4) 
0
M  nuqta biror-bir V  nuqtalar toʻplamining quyuqlanish nuqtasi boʻlsa, 
V
 toʻplam nuqtalaridan 
0
M nuqtaga yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratib olish 
mumkin. 
 5) 
Yopiq 
V
 toʻplamga tegishli nuqtalar ketma-ketligi 
0
M  nuqtaga 
yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda 
0
M
V
 . 
 
Nuqtalar ketma-ketligining limitini aniqlashda sonli ketma-ketlik limiti 
muhim ahamiyatga ega.  
 Masalan, 
nuqtalar 
ketma-ketligining limiti uchun quyidagi tasdiqlar oʻrinli: 
 1. 
k
M
 va
0
M  nuqtalar orasidagi 




0
,
k
M M

 masofalardan tashkil topgan 
sonli ketma-ketlikning limiti nolga teng boʻlgandagina, 
0
M  nuqta
 
k
M
 nuqtalar 
ketma-ketligining limiti boʻladi. 
 2. 
n
R
 fazoda 
1
2
{
( ,
, ...,
)}
k
n
M x x
x
 nuqtalar ketma-ketligi 


0
0
0
0
1
2
,
, ...,
n
M x x
x  
nuqtaga yaqinlashishi uchun 
0
lim
,
1,
k
m
m
k
x
x
m
n



 tenglik bajarilishi zarur va 
yetarli. 
 Masalan, 


0
0, 4
M
 nuqta
1
4
,
1
k
k
M
k k













 nuqtalar ketma-ketligining 
limitidir, chunki 
1
4
lim
0,
lim
4
1
k
k
k
k
k





munosabatlar oʻrinli. 
 3-misol.
2
2
3
1
;
2
3
1
k
k
k
k
M
k
k

















, lim
?
k
k
M

  
 Yechish.
3
2 3
2
2
3
3 2
3
2
3
3
3
lim 1
lim 1
lim 1
2
2
2
k
k
k
k
k
k
e
k
k
k




































 
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
lim
lim
lim
1
3
1
3
1
3
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k












 

 
12 
Demak, 
3
2
2
2
3
1
lim 1
;
;
.
2
3
1
3
k
k
k
k
e
k
k


 







 












 
 
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1. 
n
R
 fаzоdа nuqtа аtrоfi dеgаndа nimаni tushunаsiz? Misоllаr kеltiring. 
2.  Toʻplаmning ichki vа chеgаrаviy nuqtаlаri, quyuqlаnish nuqtаsi dеgаndа 
nimаni tushunаsiz? Quyuqlаnish nuqtаsi toʻplаmgа  tеgishli boʻlmаsligi 
mumkinmi? 
3.  Yopiq vаоchiq nuqtаlаr toʻplаmlаrini tа’riflаng. Ulаrgа misоllаr kеltiring. 
4.  Nuqtаlаrning chiziqli qаvаriq kоmbinаtsiyasi dеb nimаgааytilаdi?  
5.  Qаvаriq nuqtаlаr toʻplаmining chеtki nuqtаsi dеb, qаndаy nuqtаgааytilаdi? 
6.  Sоnli kеtmа-kеtlik tа’rifi. 
7.  Chеksiz kichik va chеksiz kаttа sоnli kеtmа-kеtliklаr vа ulаrning хоssаlаri. 
8.  Mоnotоn vа chеgаrаlаngаn sоnli kеtmа-kеtliklаr. 
9.  Yuqоridаn (quyidаn) chеgаrаlаngаn kеtmа-kеtliklаr. Misоllаr kеltiring. 
10.  Kеtmа-kеtlik limitining mаvjudligi hаqidа tеоrеmа. 
 
 
20-mavzu. Sonli qatorlar 
 
Reja:
 
20.1.  Sonli qatorning xususiy yig‘indisi. 
20.2.  Yaqinlashuvchi qatorlar. 
20.3.  Qator yaqinlashishining Koshi kriteriyasi. 
20.4.  Hadi nomanfiy boʻlgan qatorlar. Yaqinlashish alomatlari. 
20.5.  Geometrik qatorlar va ularning iqtisodiy masalalarga tadbiqi. 
 
 
Tayanch soʻz va iboralar:
 qatorlar, yaqinlashuvchi qator, uzoqlashuvchi 
qator, xususiy yig‘indi, qator yig‘indisi, qatorning qoldig‘i, garmonik qator, 
yaqinlashiah alomatlari, musbat hadli qatorlar. 
 
1-ta’rif.  { },
n
n
a
a
N
  va 
1
{ },
...
,
n
n
n
S
S
a
a
N n N
   
   ketma-ketliklar 
juftligi qator, deb ataladi va quyidagicha belgilanadi: 
1
2
3
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a
a


 

 


 
 
 
(1)
Bu yerda 
n
S
  xususiy yig‘indi, { }
n
a  ketma-ketlik elementlari esa qator hadlari 
deb ataladi. 
 

 
13 
 Agar 
 
0
lim
n
n
S
S


   
boʻlsa, u holda { }
n
a  qator yaqinlashuvchi, deyiladi va quyidagicha yoziladi: 
0
1
n
n
a
S




. 
 Agar 
 
lim
n
n
S

 
 
boʻlsa, u holda { }
n
a  qator uzoqlashuvchi deyiladi. 
 
1
n
n
a



 qator uchun 
1
n k
k
a




 qator uning qoldiq hadi deyiladi. 
 1-misol
. 1)
1
,
1
n
n
q
q




 qator yaqinlashuvchi.  
1
1
1
lim
1
1
n
n
n
n
q
S
S
q
q








. 
 2) 
1
,
1
n
n
q
q




 qator uzoqlashuvchi.  
 
Yaqinlashuvchi qatorlar quyidagi xossalarga ega: 
1)
 
Agar qator yaginlashuvchi boʻlsa, u holda uning elementlaridan iborat 
ketma-ketlik nolga intiladi. 
2)
 
Agar 
1
1
,
n
n
n
n
a
b






 qatorlar yaqinlashuvchi boʻlib, ularning yig‘indisi mos 
ravishda 
01
02
,
S
S
 ga teng boʻlsa, u holda 


1
2
1 01
2 02
1
2
1
,
,
n
n
n
a
b
S
S




 







  
1
0,
0,
1
,
0
dx
x








 



 boʻladi. 
3)
 
Agar qator yaqinlashsa, u holda uning har qanday qoldiq hadi ham 
yaqinlashadi. Agar qatorning qandaydir qoldiq hadi yaqinlashsa u holda qatorning 
oʻzi ham yaqinlashadi. 
 
Qator yaqinlashishining Koshi kriteriyasi bilan tanishib chiqamiz: 
 
Teorema (Koshi kriteriyasi). 
1
n
n
a



 
qator yaqinlashishi uchun ixtiyoriy 
0

  
uchun shunday 
0
n
  nomer mavjud boʻlishi kerakki, barcha 
0
n n

  va 
0
p

lar 

 
14 
uchun 
...
n
n p
a
a


 

tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.
 
 
 2-misol
. 
1
1
1
...
...
2
n
     garmonik qatorni qaraymiz. Ixtiyoriy n N
  da  
1
1
1
1
1
1
1
...
...
1
2
1 2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n

 


 



 


 
boʻlgani uchun agar 
1
0
2

   boʻlsa 
0
n
 nomerni tanlash mumkin emas. Chunki 
ixtiyoriy  n  va 
1
p n
 
 holatda teoremadagi tengsizlik bajarilmaydi. Shu sababli 
garmonik qator uzoqlashuvchi. 
 
Hadi nomanfiy boʻlgan qatorlarning yaqinlashish alomatlari bilan 
tanishamiz. 
 
Teorema. 
Hadlari nomanfiy boʻlgan qator faqat va faqat bu qatorning xususiy 
yig‘indilari ketma-ketligi yuqoridan chegaralangan boʻlgandagina yaqinlashuvchi 
boʻladi. 
 
Teorema. 
Agar 
( ) 0,
1
f x
x


  funksiya kamayuvchi boʻlsa, u holda 
1
( )
n
f n



 
qator yaqinlashishi uchun 
1
( )
f x dx


 
xosmas integral yaqinlashuvchi boʻlishi zarur 
va yetarli. 
 
 
3-misol
. 
1
1
n
n




 qatorni qaraymiz. Bu yerda 
1
( )
f x
x


. U holda  
1
0,
1,
1
,
1
dx
x







 
 



 
boʻlgani uchun 
1

  boʻlsa, 
1
1
n
n




 qator yaqinlashadi, 
1

  boʻlsa, 
1
1
n
n




 qator 
uzoqlashadi. 
 
Garmonik qatorning uzoqlashishini oxirgi teoremadan foydalanib ham 
isbotlash mumkin. 
 
 

 
15 
Teorema (taqqoslash alomati). 
1
1
,
n
n
n
n
a
b




 
 qatorlar uchun 
0
,
1,2,3,...
n
n
a
b n



 munosabat oʻrinli boʻlsin.
 
1. Agar 
1
n
n
b



 qator uzoqlashuvchi boʻlsa, u holda 
1
n
n
b



 qator ham uzoqlashuvchi 
boʻladi;
 
2. Agar 
1
n
n
a



 qator yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda 
1
n
n
a



 qator ham 
yaqinlashuvchi boʻladi;
 
3. 
lim
n
n
n
a
k const
b

 
   boʻlsa, u holda 
1
1
,
n
n
n
n
a
b




 
 qatorlar bir paytda 
yaqinlashadi va bir paytda uzoqlashadi.