M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1.
 
Ferma teoremasini ayting. Uning geometrik ma’nosi nimadan iborat? 
2.
 
Roll teoremasini ayting. Uning geometrik ma’nosi nimadan iborat? 
3.
 
Roll teoremasining shartlarini ayting. Ularning zaruriy shart ekanligini 
misollarda tushuntiring. 
4.
 
Lagranj teoremasini ayting. Uning geometrik ma’nosi nimadan iborat? 
5.
 
Lagranj teoremasi shartlarining har biri zaruriy shart ekanligini misollarda 
tushuntiring. 
6.
 
Roll teoremasi Lagranj teoremasining xususiy holi ekanligini koʻrsating. 
7.
 
Koshi teoremasini ayting. 
8.
 
Koshi teoremasidan Lagranj teoremasini keltirib chiqaring. 
9.
 
Darbu teoremasini ayting. 
10.
 
Nima uchun Ferma, Roll, Lagranj, Koshi, Darbu teoremalari oʻrta qiymat 
haqidagi teoremalar deyiladi? 
 
 
26-mavzu. Teylor formulasi va qatori. Lopital qoidasi 
 
Reja:
 
26.1.
 
Lopital qoidasi. 
26.2.
 
Teylor formulasi. 
26.3.
 
Makleron qatori. 
26.4.
 
Elementar funsiyalarni darajali qatorga yoyish. 
26.5.
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyalar uchun Teylor formulasi. 
 

 
58 
 
Tayanch soʻz va iboralar:
 qator, yoyilma, Teylor qatori, Makleron qatori, 
Lopital qoidasi, darajali qator. 
 
 
Agar ifodada qatnashayotgan funksiyalarning hosilalari mavjud boʻlsa, u 
holda 
0
0
, 


, 0
,-, 1

, 0
0
,  

0
 koʻrinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi 
yengillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital 
qoidasi deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidasi bilan tanishib chiqamiz. 
 a) 
0
0
 koʻrinishidagi aniqmaslik. Agar  x
a
   da  ( )
0,
( )
0
f x
g x

  boʻlsa, 
u holda 
( )
( )
f x
g x
 nisbat 
0
0
 
koʻrinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.  
 
1-teorema
. Agar 1)  ( ), ( )
f x g x  funksiyalar 

 

,
,
a
a
a a





 toʻplamda 
uzluksiz, differensiallanuvchi va shu toʻplamdan olingan ixtiyoriy x uchun 
( ) 0,
( ) 0
g x
g x



; 
 2) 
lim ( ) lim ( ) 0
x a
x a
f x
g x




; 3) hosilalar nisbatining limiti 
'( )
lim
'( )
x a
f x
A
g x

  
mavjud boʻlsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti 
( )
lim
( )
x a
f x
g x

 mavjud boʻlib, 
( )
lim
( )
x a
f x
g x

=
'( )
lim
'( )
x a
f x
g x

 tenglik oʻrinli boʻladi. 
 
 1-misol.
 
2
2
2
ln(
3)
lim
3
10
x
x
x
x




 limitni hisoblang.  
 Yechish.
 Bu holda 
2
2
( ) ln(
3),
( )
3
10
f x
x
g x
x
x





 boʻlib, ular 
uchun 1-teoremaning barcha shartlar ibajariladi. 
Haqiqatanham,  
 1) 
2
2
2
lim ( ) limln(
3) ln1 0
x
x
f x
x



 
 ,    
2
2
2
lim ( ) lim(
3
10) 0
x
x
g x
x
x





 ; 
 2) 
2
2
'( )
,
'( ) 2
3,
3
3
x
f x
g x
x
x
x



 

; 
 3) 
2
2
2
'( )
2
lim
lim
0
'( )
(
3)(2
3)
x
x
f x
x
g x
x
x






 boʻladi.  
Demak, 


2
2
2
ln
3
lim
0
3
10
x
x
x
x





. 

 
59 
 1-eslatma
. Shuni ta’kidlash kerakki, berilgan funksiyalar nisbatining limiti 
3) shart bajarilmasa ham mavjud boʻlishi mumkin, ya’ni 3) shart yetarli boʻlib, 
zaruriy emas.  
 Masalan, 
2
1
( )
cos ,
( )
f x
х
g x
x
x

  funksiyalar (0;1] oraliqda 1) va 2) 
shartlarni qanoatlantiradi. 
0
0
( )
1
lim
lim
cos
0
( )
x
x
f x
x
g x
x










, lekin 
0
0
'( )
1
1
lim
lim 2 cos
sin
'( )
x
x
f x
x
g x
x
x










 mavjud emas, chunki  
1
0
n
n
x
n

  

 , 
n
1
x
0
1
1
2( 1)
 lim 2 cos
sin
lim
sin
0;
n
n
x
n
x
x
n






















 
1
0
1
2
2
n
n
x
n

  









, 
0
1
1
2
lim 2 cos
sin
lim
cos 2
sin 2
1
1
2
2
2
2
n
x
n
x
n
n
x
x
n



















































. 
 
2-teorema
. Agar [c;+
) nurda aniqlangan  ( ), ( )
f x g x  funksiyalar berilgan boʻlib, 
 1) 
(c;+
) da chekli 
,
f
g


 hosilalar mavjud va 
0
g

;  
  2) 
lim ( ) 0,  
lim ( ) 0
x
x
f x
g x



 ; 3) hosilalar nisbatining limiti 
'( )
lim
'( )
x
f x
g x

 
mavjud boʻlsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti 
( )
lim
( )
x
f x
g x

 mavjud boʻlib, 
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x
x
f x
f x
g x
g x





 tenglik oʻrinli boʻladi. 
 
 
Yuqorida keltirilgan boshqa aniqmasliklar uchun ham xuddi shuday 
teoremalar oʻrinli boʻlib, limitni hisoblashda Lopital qoidasini qoʻllash mumkin. 
 2-misol.
 
ln
1
lim
lim
0
x
x
x
x
x



 .  

 
60 
 3-misol.
 
2
1
0
lim
x
x
tgx
x







limitni hisoblaymiz. Bu yerda 
0
x
  da 
2
1
x
x
tgx






 ifoda 
1

 koʻrinishdagi aniqmaslik boʻladi. Uni logarifmlab, 
0
0
 aniqmaslikni ochishga 
keltiramiz: 
2
2
2
2
3
0
0
0
0
0
2
2
2
3
2
2
0
0
0
cos
ln
(ln
)'
1
sin cos
limln
lim
lim
lim
lim
( )'
2
2
1
(
sin cos )' 1
1 cos
sin
1
2sin
1
1
lim
lim
lim
2
.
2
( )'
2
3
6
6
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tgx
x
tgx
tgx
x
x
x
x
tgx
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
х
x
x
x






















  
 
Demak, 
2
1
1
3
3
0
lim
x
x
tgx
e
e
x


  




. 
 Aytaylik 
( )
f x  funksiya  x a
  nuqta atrofida aniqlangan bо‘lib, (
1)
n
 
tartibli hosilaga ega bо‘lsin.  
 
1-ta’rif
.  
( )
2
'( )
''( )
( )
( )
( )
(
)
( – )
...
(
)
...
( )
1!
2!
!
n
n
n
f a
f a
f
a
f x
f a
x a
x a
x a
R x
n




 

 
 (1)
kо‘rinishdagi qatorni, ya’ni  ( )
f x  funksiyaning (x-a) ayirmaning darajalari 
bо‘yicha yoyilmasini Teylor formulasi deyiladi. Boshqacha aytganda  ( )
f x  
funksiyaning  a  nuqta atrofidagi Teylor qatori deyiladi. Bu yerda 
( )
n
R x

qoldiq 
had deb ataladi. 
 
 Agar 
(1) 
formulada 
x a
x
    deb olsak Lagranjning chekli orttirmalar 
formulasini hosil qilamiz: 


 
 
  
  
( )
2
...
...
1!
2!
!
n
n
f a
f a
f
a
f a
x
f a
x
x
x
n


  

 

 


 
 
Agar (1) da 
0
a
  bо‘lsa, u holda Teylor qatori quyidagi kо‘rinishga keladi: 
( )
2
'(0)
''(0)
(0)
(0)
...
...
1!
2!
!
n
n
f
f
f
f
x
x
x
n


 
   
 
 
 
(2) 
 
Teylor qatorining xususiy holi bо‘lgan bu qator Makloren qatori deb 
yuritiladi. 

 
61 
 
Yuqoridagi ta’rifni e’tiborga olgan holda quyidagi teoremani keltirish 
mumkin: 
 Agar 
( )
f x  funksiya  a  nuqtaning biror atrofida (
)
x a

 ayirmaning 
darajalari bо‘yicha darajali qatorga yoyilsa, u holda bu qator funksiyaning  a  nuqta 
atrofidagi Teylor qatori bо‘ladi. 
 
Bu natija berilgan funksiyani darajaliqatorga yoyish haqidagi masalani 
yechishga oydinlik kiritadi. Chunki biz darajali qator koeffisiyentlarining 
kо‘rinishini bilamiz. Bundan esa  ( )
f x  funksiyani (
)
x a

 ayirmaning darajalari 
bо‘yicha qatorga yoyish masalasini  a  nuqtada cheksiz marta differensiallanuvchi 
( )
f x  funksiyaga nisbatan aytish mumkinligi kelib chiqadi. Ammo bu shart  ( )
f x  
funksiyani Teylor qatoriga yoyishning zaruriy sharti bо‘lib, yetarli shart boʻla 
olmaydi. Fikrimizning dalili sifatida quyidagi funksiyani qaraymiz: 
2
1
, agar
0,
( )
0, agar
0.
x
e
x
f x
x



 



 
Bu funksiya (-
;+) oraliqda cheksiz marta differensiallanuvchi. Haqiqatanham, 
agar 0
x
  bо‘lsa, u holda  
2
2
1
1
3
3
2
1
( )
,
x
x
f x
e
P
e
x
x


 


  
 
    
2
2
1
1
6
4
6
6
4
1
( )
x
x
f x
e
P
e
x
x
x




 

 




 


 
, 
umuman olganda matematik induksiya metodi yordamida n-tartibli hosila uchun
 
2
1
3
1
( )
n
x
n
f
x
P
e
x

 

 
 
 
formulaning  о‘rinli ekanligini isbotlash mumkin, bu yerda
3
1
n
P
x
 
 
   
orqali 
1
x
ga nisbatan 3n darajali biror kо‘p hadni belgilangan. 
 Bu 
funksiyaning 0
x
  nuqtada ham cheksiz marta differensiallanuvchi 
ekanligini isbotlaymiz. Avval 
2
1
0
1
lim
x
m
x
e
x







  
limitni hisoblaymiz, bu yerda m 
natural son. Buning uchun 
2
1
y
x

 
belgilash kiritamiz. U holda x
0 da y 
bо‘ladi va 
2
1
2
2
0
1
lim
lim
lim
0
m
m
x
m
y
y
x
y
y
y
y
e
x
e
e






 bо‘ladi. Bunda sо‘ngi limitning 
о‘rinli ekanligini kо‘rsatish uchun Lopital qoidasidan foydalanish yetarli. Sо‘ngi 
tenglikdan 
2
1
0
1
lim
x
m
x
e
x








=0                                               (3) 

 
62 
Ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa ixtiyoriy 
0
1
1
1
1
...
k
k
k
P
a
a
a
x
x
x
   
 
 
 
 
kо‘phad 
uchun 
2
2
1
1
0
0
0
1
1
lim
lim
0
k
x
x
k
m
m
x
x
m
P
e
a
e
x
x









 






 
 





                        (4) 
kelib chiqadi. 
 
Endi funksiya hosilasining ta’rifi va (3) tenglikdan foydalanib, funksiyaning 
0 nuqtadagi hosilasini hisoblaymiz: 
2
1
0
0
( )
(0)
1
(0) lim
lim
0
x
x
x
f x
f
f
e
x
x














. 
 
Faraz qilaylik, biror n uchun 
( )
(0) 0
n
f
   bо‘lsin. U holda n+1 tartibli 
hosilaning ta’rifi va (4) munosabatdan 
( )
( )
( )
(
1)
0
0
( )
(0)
( )
(0) lim
lim
n
n
n
n
x
x
f
x
f
f
x
f
x
x






 
2
2
1
1
3
3 1
0
0
1
1
lim
lim
0
x
n
x
n
x
x
P
e
x
P
e
x
x





 
 
 
 



 
 
, 
demak, matematik induksiya prinsipiga kо‘ra 
( )
(0) 0
m
f
 tenglik barcha natural 
mlarda о‘rinli bо‘ladi. 
 Shunday 
qilib, 
( )
f x  funksiyaning x=0 nuqtadagi barcha Teylor 
koeffisiyentlari 0 ga teng va bu funksiyaning mos Teylor qatori quyidagi 
kо‘rinishda bо‘ladi: 0+0x+0x
2
+…+0x
n
+…. Bu qator, ravshanki, (-
;+) da 
yaqinlashuvchi bо‘lib, yig‘indisi 0 ga teng. Ammo qaralayotgan funksiya aynan 0 
ga teng emas. Qaralayotgan funksiya va uning Teylor qatori qiymatlari faqat 0 
nuqtada teng bо‘ladi. 
 
Bu misoldan ikkita har xil funksiyalar aynan bitta oraliqda bir xil Teylor 
qatoriga ega bо‘lishi mumkinligi kelib chiqadi. Masalan, agar
0
( )
(
)
n
n
n
x
a x a






bо‘lsa, u holda  ( )
( )
x
f x


, bu yerda 


2
1
,
,
( )
0,
x a
e
agar x a
f x
agar x a





 



, funksiya ham 
x=a nuqtada 
0
(
)
n
n
n
a x a




 
Teylor qatoriga ega bо‘ladi. 
 Endi 
ushbu 
2
1
( )
1
x
x



 
funksiyani qaraymiz. Bu funksiya (-
;+) 
oraliqda cheksiz marta differensiallanuvchi, uning 0 nuqta atrofidagi Teylor qatori 

 
63 
1-x
2
+x
4
-x
6
+… bо‘ladi. Ammo bu qator (-
;+) oraliqda emas, balki (-1;1) 
intervalda yaqinlashuvchi. Demak,  ( )
x

funksiya va uning Teylor qatori yig‘indisi 
faqat (-1;1) intervalda ustma-ust tushadi. 
 
Funksiyani Teylor qatoriga yoyish sharti bilan tanishamiz. Aytaylik, f(x) 
funksiya biror (a-r, a+r) intervalda cheksiz marta differensiallanuvchi bо‘lsin. Bu 
funksiya va uning hosilalarining a nuqtadagi qiymatlarini hisoblab, Teylor qatorini 
yozib olamiz: 
( )
2
'( )
''( )
( )
( )
(
)
( – )
...
(
)
...
1!
2!
!
n
n
f a
f a
f
a
f a
x a
x a
x a
n



 

                 (5) 
 
Ushbu savolga javob izlaymiz: qachon tuzilgan qator (a-r, a+r) intervalda 
f(x) funksiyaga yaqinlashadi? 
 
Berilgan f(x) funksiya (a-r, a+r) intervalda cheksiz marta 
differensiallanuvchi bо‘lganligi sababli, shu intervaldan olingan ixtiyoriy x va 
istalgan n uchun Teylor formulasi о‘rinli bо‘ladi: 
(
1)
2
1
'( )
''( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
1!
2!
(
1)!
n
n
n
f a
f a
f
a
f x
f a
x a
x a
x a
R x
n













, (6) 
Shu formula yordamida yuqorida berilgan savolga javob berish mumkin. 
 
2-teorema
. ( )
f x  funksiyaning (5) Teylor qatori biror (a–r;a+r) intervalda  ( )
f x  
funksiyaga yaqinlashishi uchun  ( )
f x  funksiya Teylor formulasining 
( )
n
R x
qoldiq 
hadi (a–r;a+r) intervaldan olingan barcha x larda n cheksiz kattalashganda nolga 
intilishi zarur va yetarli. 
 
 
Quyida funksiyaning Teylor qatoriga yoyilishining yetarli shartini 
ifodalovchi teoremani keltiramiz. 
 
3-teorema
. ( )
f x  funksiya (a–r;a+r) intervalda istalgan tartibdagi hosilaga ega 
bо‘lsin. Agar shunday о‘zgarmas M soni mavjud bо‘lsaki, barcha x
(a–r;a+r), 
hamda barcha n=0, 1, 2, 
uchun 
( )
( )
n
f
x
M

 tengsizlik bajarilsa, u holda (a–
r;a+r) intervalda  ( )
f x  funksiya Teylor qatoriga yoyiladi. 
 
 
Endi ba’zi elementar funksiyalarning Teylor qatoriga yoyilmasi bilan 
tanishib chiqamiz. 
 a) 
( )
x
f x
e

 funksiyaning (ixtiyoriychekli [–a;a] kesmadagi) Teylor 
formulasi