O’zgarmasni variatsiyalash usuli. Grin funksiyasi Bir jinsli tenglamaning harakteristik tenglamasi Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish

Misol. tenglamani qaraylik. Uning harakteristik tenglamasi . Hos sonlar . Demak, funksiyalar berilgan tenglamaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi. Umumiy yechim:

Endi harakteristik tenglama ildizlari orasida karralilari ham bor deb faraz qilaylik. (haqiqiy yoki kompleks son) – (3) harakteristik tenglamaning karrali ildizi bo’lsin, u holda

munosabatlar o’rinli. Ushbu ayniyatni bo’yicha marta differensiallaymiz, bunda chap tomondagi operator ga bog’liq bo’lmaganligi sababli differensiallash amalini operator belgisi ichiga kiritish mumkin. O’ng tomonda esa ko’paytmanianag differensiali hisoblanadi:

Bu yerda (8) ga ko’ra larda ayniyat hosil bo’ladi, ya’ni

funksiyalar (2) chziqli bir jinsli tenglamaning yechimlaridan iboratligi ko’rinadi. Bu yechimlarning chiziqli erkliligini yuqorida (4) funksiyalarni chiziqli erkliligini ko’rsatgandek ko’rsatish mumkin.
Demak, harakteristik tenglamaning karrali har qanday haqiqiy ildizizi (2) tenglamaning ta haqiqiy chiziqli erkli hususiy yechimini aniqlaydi.
Agar harakteristik tenglama karrali ildizga ega bo’lsa, u holda karrali ildizga ham ega bo’ladi. (9)ga ko’ra bu ildizlar ta

chiziqli erkli kompleks yechimni aniqlaydi. Ularning haqiqiqy va mavhum qismlarini ajratib olamiz:


(10) funksiyalarning chiziqli ekliligidan bu funksialarning ham chiziqli erkli ekanligi kelib chiqadi. Demak, harakteristik tenglamaning karrali har qanday qo’shma kompleks ildizi (2) tenglamaning ta haqiqiy chiziqli erkli hususiy yechimini aniqlaydi.
Algebra kursidan ma’lumki -darajali algebraik chiziqli tenglama hamma vaqt ta ildizga ega, ya’ni sonlar (3) tenglamaning mos ravishda karrali ildizlari bo’lsa u holda tenglik o’rinli bo’ladi. Hulosa qilib aytganda, (2) tenglamaning harakteristik sonlari qanday bo’lmasin biz hamma vaqt ta haqiqiy yechimga ega bo’lamiz va ularning ihtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi korinishida tenglamaning umumiy yechimini aniqlaymiz.