O’zgarmasni variatsiyalash usuli. Grin funksiyasi Bir jinsli tenglamaning harakteristik tenglamasi Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish

1-Teorema. Ushbu

funksiya (3),(4) chegaraviy masalani yechimidan iborat.
Isbot. Grin funksiyasining 3) hossasiga ko’ra (6) funksiya (4) chegaraviy shartni qanoatlantirishi kelib chiqadi. Bu funksiya (3) tenglamani qanoatlantirishini ko’rsatamiz.


Bularni (3) tenglama chap tomonining quyidagi ko’rinishiga keltirib qoyamiz:

Ohirgi integral ostidagi ifoda Grin funksiyasining 2) hossasiga ko’ra nolga aylandi. Teorema isbotlandi.
2-Teorema. Agar (5) tenglamani (4) chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi notrivial yechimi mavjud bo’lmasa, u holda (3),(4) chegaraviy masalaning Grin funksiyasi mavjud va yagona bo’ladi.
Isbot. Teoremani isbotlash usuli Grin funksiyasini qurish usulidan iborat. (5) tenglamani boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini deb belgilaylik. Teorema shartiga ko’ra bu yechim (4) chegaraviy sharlardan ikkinchisini, yani tenglikni qanoatlantirmaydi.
Tabiiyki funksiya ham (5) tenglamani va shartni qanoatlantiradi, bunda – ihtiyoriy o’zgarmas son. (5) tenglamani boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini deb belgilaylik. funksiyalar oilasi (5) tenglamani va tenglikni qanoatlantiradi. va yechimlardan tuzilgan Vronskiy determinantining nuqtadagi qiymati ga teng va noldan farqli. Demak tuzilgan yechimlar chiziqli erkli bo’ladi.
Grin funksiyasini

ko'rinishda qidiramiz. Grin funksiyasi bo’yicha kesmada uzluksiz bo’lishi kerak, hususan nuqtada ham. Bundan shart kelib chiqadi. shart ko’rinishni oladi. Shunday qilib quyidagi sistemani hosil qildik

Bu sistemaning determinanati va yechimlardan tuzilgan Vronskiy determinantining nuqtadagi ko’rinishini ayni o’zidan iborat va u noldan farqli. Bu sistemadan va nomalumlarni bir qiymatli aniqlaymiz: . Bularni (7) ga qoysak quyidagi funksiya hosil bo’ladi:

Bu funksiya (3),(4) chegaraviy masalaning Grin funksiyasi ega bo’lishi kerak bo’lgan 1)-4) hossalarga ega. Grin funksiyasi mavjudligi ko’rsatildi.
Endi uning yagonaligini ko’rsataylik. Teskarisidan faraz qilaylik, yani (3),(4) chegaraviy masala ikkita turli va Grin funksiyasiga ega bo’lsin. U holda 1-teoremaga ko’ra bu masalaning ikkita turli yechimini hosil qilamiz:

Bu yechimlarning ayirmasi bir jinsli (5) tenglamaning (4) chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi notrivial yechimidan iborat. Bu esa teorema shartiga zid. Teorema to’la isbotlandi.
Misol. Quyidagi chegaraviy masalani Grin funksiyasini topaylik

Berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimlari chiziqlar oilasidan iborat. shartni qanoatlantiruvchi yechimlari esa . (8) sistemani tuzamiz:

Bundan . Grin funksiyasi quydagicha aniqlandi: