O’zgarmasni variatsiyalash usuli. Grin funksiyasi Bir jinsli tenglamaning harakteristik tenglamasi Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish

Bir jinsli tenglamaning harakteristik tenglamasi
3-reja. Ushbu funkisiya haqiqiqy argumentli kompleks funksiya deyiladi, bunda va haqiqiy argumentli haqiqiy funksiyalar. va mos ravishda kompleks funksiyaning haqiqiy va mavhum qismi deyiladi. Bunday funksiyaga misol keltiramiz:

bu yerda . Bu formulani asoslaymiz.






funksiyaning haqiqiy qismi dan mavhum qismi dan iborat.
Ta’rif. Agar va hosilalar mavjud bo’lsa, u holda funksiyadan bo’yicha -tartibli hosila formula bilan aniqlaymiz.
Masalan, ihtiyoriy o’zgarnas (haqiqiy yoki kompleks) son uchun formula o’rinli (musaqil asoslang).
Agar funksiya

tenglamani biror intervalda ayniyatga aylantirsa, uni (1) chiziqli bir jinsli tenglamaning intervaldagi kompleks yechimi deb aytamiz. Komleks yechimning bitta muhim hossasini keltiraylik. Agar funksiya (1) tenglamaning intervaldagi kompleks yechmi bo’lsa, u holda va funksiyalar (1) tenglamaning haqiqiy yechimlari bo’ladi.
Ushbu

tenglama n-tartibli chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffisientli differensial tenglama deyiladi. (2) tenglamaning hususiy yechimini ko’rinishda qidiraylik, bu erda – biror o’zgarmas (haqiqiy yoki kompleks) son. Buni (2) ning chap qismiga qo’yamiz:

Bundan ko’rinadiki funksiya (2) tenglamaning yechimi bo’lishi uchun son

algebraik tenglamaning ildizi bo’lishi zarur va yetarli. (3) tenglama (2) bir jinsli chiziqli tenglamaning harakteristik tenglamasi, uning ildizlari esa hos sonlari deyiladi.
Algebra kursidan ma’lumki -darajali ko’phad ta (karralilari ham sanalganda) ildizga ega. Demak (2) tenglamaning xos sonlari ham karralilari ham sanalganda ta bo’ladi. Faraz qilaylik (2) tenglamaning hos sonlari (haqiqiy yoki kompleks sonlar) turlicha bo’lsin. U holda biz (2) tenglamaning ta hususiy yechimiga ega bo’lamiz:

(4) yechimlar ihtioriy intervalda chiziqli erkli bo’lishini isbotlaymiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni

ayniyat o’inli bo’lsin, bu yerda o’zgarmas sonlardan kamida bittasi noldan farqli . Umumiylikka ziyon keltirmagan holda deb olaylik. (5) ni ga bo’lamiz va hosla olamiz:

Bu ayniyatni ga bo’lamiz va hosila olamiz:

Ketma-ket shunday amallarni bajarib quydagi ayniyatga kelamiz:

Bu tenglik to’g’ri bo’lishi mumkin emas. Demak yuqoridagi faraz noto’g’ri va (4) funksiyalar ihtiyoriy oraliqda chizqli erklidir.
Hulosa qiladigan bo’lsak, agar (2) tenglamaning harakteristik sonlari haqiqiy va turlicha bo’lsa, u holda (4) yechimlar haqiqiy funksiyalar bo’lib, (2) bir jinsli chiziqli tenglamaning umumiy yechimi

formula bilan ifodalanadi.
Agar hos sonlar orasida kompleks son ham bor bo’lsa, u holda, algebra kursidan ma’lumki kompleks son ham hos son bo’ladi. O’z navbatida (4) funksiyalar quiydagi ko’rinishga ega bo’ladi

va funksiyalarning haqiqiy qismlari aynan bir hil, mavhum qismlari esa ishorasi bilan farqlanadi shu bilan birga ular (2) tenglamani qanoatlantiradi. (6) sistemada va funksiyalar o’rniga ularni qoyamiz:

(6) yechimlarning chiziqli erkliligidan (7) funksiyalarning chiziqli erkliligi kelib chiqadi, chunki


ayniyat o’rinli. Demak, qaralayotgan holatda har bir haqiqiy hos son (2) tenglamaning bitta hususiy haqiqiy yechimini aniqlaydi, har bir kompleks hos sonlar jufti ikkita hususiy haqiqiy yechimini aniqlaydi. Hullas, (2) tenglamaning hos sonlari turlicha bo’lganda biz hamma vaqt ta haqiqiy yechimga ega bo’lamiz va ularning ihtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi tenglamaning umumiy yechimini aniqlaydi.