O’zgarmasni variatsiyalash usuli. Grin funksiyasi Bir jinsli tenglamaning harakteristik tenglamasi Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish

O’zgarmasni variatsiyalash usuli. Grin funksiyasi
2-reja. -tartibli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglama bo’lmagan tenglama quydagi ko’rinishga ega bolishini aytishimiz mumkin:

1-teorema. Agar (1) tenglamaning bitta hususiy yechimi ma’lum bo’lsa, u holda (1) tenglamaning umumiy yechimi (1) ga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va funksiya yig’indisidan iborat.
Isbot. (1) tenglamada almashtirish bajaramiz, bu era – yangi noma’lum funksiya. Buni (1) ga qo’ysak yoki . Bu yerda ayniyatni hisobga olsak tenglamani hosil qilamiz. Demak funksiya

tenglamani qanoatlantirishi kerak. Bu (1) ga mos chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning ayni o’zidir. Agar (2) tenglamanning umumiy yechimi formula bilan aniqlansa, u holda (1) ning umumiy yechimi formula bilan ifodalanadi. Teorema isbotlandi.
Agar funksiya tenglamani, funksiya esa tenglamaning hususiy yechimidan iborat bo’lsa u holda funksiya tenglamaning hususiy yechimi bo’ladi.
Misol. tenglamani qaraylik. tenglama hususiy yechimga ega. tenglama esa hususiy yechimga ega. Demak funksiya berilgan tenglamaning hususiy yechimi bo’ladi.
Agar (1) bir jinsli bo’lmagan tenglamaga mos (2) bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ma’lum bo’lsa (1) tenglamaning umumiy yechimini kvadraturalarda aniqlash mumkinligini ko’rib chiqamiz.
(2) tenglamaning umumiy yechimi bo’lsin, bu erda – (2) tenglamaning biror fundamental yechimlar sistemasi. (1) tenglamaning umumiy yechimini

ko’rinishda qidiramiz. funksiyalarni quydagi sistemadan aniqlaymiz:

Buni hisobga olib (3) funksiyaning hosilalarini topamiz:


. . . . . . . .


(3) funksiyani va uning hosilalarini (1) tenglamaga qo’ysak (3) funksiya (1) tenglamani qanoatlantirishini ko’ramiz. (4) sistemadan larni bir qiymatli aniqlash mumkin, chunki sistemaning determinant chiziqli erkli funksiyalardan tuzilgan Vronskiy determinantidan iborat bo’lib u noldan farqli. Topilgan larga ko’ra funksiyalarni aniqlaymiz va (3) formulaga qo’yib (1) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz.
Misol. Ushbu

tenglamani qaraymiz. Bu tenglamaga mos bir jinsli tenglama bo’lib uning umumiy yechimini topamiz. yangi funksiya kiritamiz. Natijada o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama xosil bo’ladi. Bundan

Eski o’zgaruvchiga qaytaylik

Berilgan (5) tenglamaning umumiy yechimini

ko’rinishda qidiramiz. (4) sistemani tuzamiz:


Demak berilgan tenglamani umumiy yechimi: .
Bir jinsli bo’lmagan (1) tenglamaning hususiy yechimini topishning yana bir usluli – Koshi usuli bilan tanishamiz. (1) tenglamaning koeffisientlari intervalda uzluksiz. (1) ga mos bir jinsli (2) tenlamaning biror fundamental yechimlar sistemasi ma’lum bo’lsin. Bu fundamental sistemadan foydalanib (2) tenglamaning

boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaylik, chunki u ga ham ga ham bog’liq. Quyidagi funksiyani qaraylik:

Bu funksiya (1) tenglamani hususiy yechimidan iboratligini ko’rsataylik. Dastlab uning hosilalarini topamiz:


. . . . . . .


Chegaralari o’zgaruvchi integrally ifodaning hosilasi quyidagi formuladan topiladi:

(6) funksiani va uning hosilalarini (1) tenglamaning chap tomoniga qo’yamiz:

Demak (6) funksiya (1) tenglamani qanoatlantiradi.
Endi (1) tenglamaning hususiy yechimini aniq integral ko’rinishida yozish maqsadida quyidagi funksiyani kiritamiz:

Bu funksiya quyidagi hossalarga ega
1^o. ;
2^o. Bu funksiyadan bo’yicha olingan tartibligacha hosilalarning dagi qiymati nolga teng, ya’ni .
3^o. Bu funksiyadan nuqtada bo’yicha olingan tartibli o’ng hosila 1 ga chap hosila esa 0 ga teng, ya’ni .
va yarim intervallarda argumenti bo’yicha chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning yechimidan iborat va yuqorida sanalagan 1^o-3^o hossalarga ega bo’lgan funksiya (1) tenglama uchun qo’yilgan Koshi masalasining Grin funksiyasi deyiladi. Grin funksiyasidan foydalanib (6) formulani aniq integral shaklida yozish mumkin:

Misol. (5) tenglamani Grin funksiyasi yordamida hususiy yechimini topaylik. Bir jinsli tenglamani umumiy yechimi ekanini yuqorida aniqlagan edik. Umumiy yechim orasidan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni qidiramiz:

Demak izlanayotgan yechim . Endi (5) formula yordamida hususiy yechimni topamiz, bunda deb olish mumkin: