Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

2.3-misol. Yuqoridagi misolga o‘xshash holda torusning quyidagi diffeomorfizmi qaraylik:
.

2.9-chizma. G akslantirishning fazali chizmasi.

Yana toʻrtta qoʻzgʻalmas nuqta mavjud: ikkita egar (0,0) va Akslantirishning fazali chizmasi 2.9-chizmada keltirilgan.

Turgʻun va turgʻunmas koʻpxilliklarning xarakteri yuqori oʻlchamli dinamik sistemalarning strukturaviy turg‘unligi masalasida muhim rol oʻynaydi.

3-BOB. funksiyaning dinamik sistemalari
3.1. Geometrik usul
Dinamik sistemalar nazariyasining asosiy maqsadi trayektoriyalarning xatti- harakatini oʻrganishdan iborat. Bu jarayon differensial tenglama boʻlib, uning oʻzgaruvchisi vaqt boʻlsa, bu nazariya tenglama yechimlarining uzoq kelajakdagi ( yoki uzoq oʻtmishdagi ( yakuniy xatti- harakatlarini bashorat (prognoz) qilishga harakat qiladi. Diskret dinamik sistemalarda iteratsiya soni n kattalashganda nuqtalarning harakati qayerga borishi tushuniladi.Ya’ni, dinamik sistemalar trayektoriya nuqtalari qayerga boradi degan savolga javobni o‘rganadi. Ushbu bobda shu savollarga javob berishga harakat qilamiz.
3.1-ta’rif. Agar x nuqta uchun boʻlsa, unga f funksiyaning kritik nuqtasi deyiladi.
Misol uchun, funksiya 0 da maxsus boʻlmagan kritik nuqtaga ega, lekin uchun funksiya 0 da maxsus kritik nuqtaga ega bo‘ladi. Ta’kidlash kerakki, maxsus kritik nuqtalar maksimal, minimal yoki egar nuqtalari boʻlishi mumkin ( misolda boʻlgani kabi).
D
inamik sistemani oʻrganishda funksiyaning geometrik chizmasidan foydalanamiz.Dinamik sistemaning orbitalarini tasvirlashning ancha samarali, geometrik usuli, fazali chizmasi mavjud. Bu sistemaning barcha orbitalarining chizmalari haqiqiy sonlar o‘qida tasvirlangan. Masalan, funksiyaning nolga teng boʻlmagan barcha orbitalari 2 davrga ega ekanligini koʻrsatish uchun biz 3.1.a-chizmadagi kabi faza chizmasini chizishimiz mumkin. Bu chizmada boshqa funksiyalarning ham fazali chizmalari tasvirlangan.
3.1-chizma. Fazaviy analiz

Albatta, funksiya grafigi f ning bir marta ta’siri haqidagi ma’lumotlarini oʻz ichiga oladi. Biz ko‘proq iteratsiyalar haqida bilish uchun grafik tahlildan foydalanamiz. Daslab dioganal (bissektrisa)ni aniqlang. Unda nuqtadan f funksiyaning grafigiga chiqqan vertikal chiziq grafik bilan nuqtada kesishadi. Keyin nuqtadan diogonalga chiqqan boʻlgan gorizontal chiziq diagonal bilan nuqatada uchrashadi. Demak, grafikka vertikal chiziq va undan keyin ga qaytadigan gorizontal chiziq diagonaldagi ta’siridagi nuqtaning tasvirini beradi.
Shunday qilib, biz funksiyaning fazoviy chizmasini oʻqida emas, balki diagonalda sodir boʻlayotganini tasavvur qilishimiz mumkin.
Keyin orbita chiziq segmentlarini qayta-qayta vertikal ravishda dan grafikka, keyin esa grafikdan ga gorizontal ravishda chizish orqali beriladi.
3.2- chizmada va funksiyalar uchun yuqoridagi jarayon chizmasi tasvirlangan.

3.2-chizma. Grafik analiz

Quyidagi oddiy akslantirishlar kabilarning dinamik sistemasi noodatiy bo‘ladi. Buning koʻp sabablari bor, lekin bu chizmalarning eng gʻayrioddiy xususiyati shundaki, bu akslantirishlar iteratsiyasi natijasida barcha nuqtalar davriy boʻladi. Ko‘pgina akslantirishlar bunday xossaga ega emas. Davriy nuqtalar to‘g‘ri chiziqda koʻproq tarqaladi. Giperbolik davriy nuqtalari boʻlgan chizmalar odatda koʻplab dinamik sistemalarda uchraydi va bundan tashqari, ular davriy xatti-harakatlarni tahlil qilish uchun sodda turlar hisoblanadi.