O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti kattaqo’RG’on filiali “аxborot texnologiyalari” kafedrasi

4-tеоrеmа. 
CHTSni elеmеntаr аlmаshtirishlаr nаtijаsidа ungа ekvivаlеnt bo’lgаn 
CHTS hоsil bo’lаdi. 
 
F
m



,...,
1
m
m
n
mn
m
n
m
m
b
b
x
a
a
x
a
a















...
)
...
(
...
)
...
(
1
1
1
1
1
1
11
1

---

167 
Birgalikda va birgalikda bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemalari

---

168 
4.Ushbu
1) 

























2
4
3
8
7
5
3
7
5
4
18
2
8
7
5
9
5
4
3
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2) 























41
3
5
4
6
40
5
8
7
27
3
5
2
4
12
2
3
5
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tenglamalar sistemasini yeching. 
5. Matrisalar hisobidan foydalanib quyidagi tenglamalar sistemasini yeching. 
1) 














6
2
,
9
4
3
2
,
8
5
4
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
; 2) 















2
2
9
4
,
1
2
12
5
,
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 
{
𝒙
𝟏
+ 𝟐𝒙
𝟐
+ 𝟒𝒙
𝟑
− 𝟑𝒙
𝟒
= 𝟎
𝟑𝒙
𝟏
+ 𝟓𝒙
𝟐
+ 𝟔𝒙
𝟑
− 𝟒𝒙
𝟒
= 𝟎
𝟒𝒙
𝟏
+ 𝟓𝒙
𝟐
− 𝟐𝒙
𝟑
+ 𝟑𝒙
𝟒
= 𝟎
𝟑𝒙
𝟏
+ 𝟖𝒙
𝟐
+ 𝟐𝟒𝒙
𝟑
− 𝟏𝟗𝒙
𝟒
= 𝟎
{
𝟐𝒙
𝟏
− 𝟒𝒙
𝟐
+ 𝟓𝒙
𝟑
+ 𝟑𝒙
𝟒
= 𝟎
𝟑𝒙
𝟏
− 𝟔𝒙
𝟐
+ 𝟒𝒙
𝟑
+ 𝟐𝒙
𝟒
= 𝟎
𝟒𝒙
𝟏
− 𝟖𝒙
𝟐
+ 𝟏𝟕𝒙
𝟑
+ 𝟏𝟏𝒙
𝟒
= 𝟎
 
{
𝟑𝒙
𝟏
+ 𝟑𝒙
𝟐
+ 𝒙
𝟑
+ 𝟑𝒙
𝟒
+ 𝟓𝒙
𝟓
= 𝟎
𝟔𝒙
𝟏
+ 𝟒𝒙
𝟐
+ 𝟑𝒙
𝟑
+ 𝟓𝒙
𝟒
+ 𝟕𝒙
𝟓
= 𝟎
𝟗𝒙
𝟏
+ 𝟔𝒙
𝟐
+ 𝟓𝒙
𝟑
+ 𝟕𝒙
𝟒
+ 𝟗𝒙
𝟓
= 𝟎
𝟑𝒙
𝟏
+ 𝟐𝒙
𝟐
+ 𝟒𝒙
𝟑
+ 𝟖𝒙
𝟒
= 𝟎
 
{
𝒙
𝟏
+ 𝒙
𝟐
− 𝟒𝒙
𝟑
= 𝟎
𝟑𝒙
𝟏
+ 𝟓𝒙
𝟐
+ 𝟐𝒙
𝟑
= 𝟎
𝟒𝒙
𝟏
+ 𝟕𝒙
𝟐
+ 𝟓𝒙
𝟑
= 𝟎
𝟐𝒙
𝟏
+ 𝟗𝒙
𝟐
+ 𝟔𝒙
𝟑
= 𝟎
 

---

169 
8-9-amaliy mashg`ulotlar 
Chiziqli tenglamalar sistemasini zinapoya usuliga keltirish. Chiziqli 
tenglamalar sistemalarining almashtirishlari. Gauss usuli. Bir jinsli 
tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo`lish v abo`lmaslik sharti.
Bizga xarakteristikasi nol bo’lgan 
P
maydonda ikkita


1
1,
n
ik
k
i
k
a x
b
i
m




 

va


1
1,
n
ik
k
i
k
c x
d
i
m




 

bir xil 
m n

tartibli 
1
2
,
, ...,
n
x
x
x
noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemalari 
berilgan bo’lsin.
Shuni ta’kidlaymizki, 
K
halqa 
halqa, 
,
,
sonli maydonlardan biri 
bo’lishi yoki qandaydir halqa yoki maydon ham bo’lishi mumkin.
Ta’rif 18.1.
Agar (

) sistemaning ixtiyoriy ikkita tenglamasini o’rinlari 
almashtirish natijasida 
 

sistema hosil qilinsa, 
 

sistemani 
 

dan 
I

tur 
elementar almashtirish natijasida hosil qilingan deyiladi.
Ta’rif 18.2
. Agar 
 

sistemaning biror tenglamasini biror elementga 
ko’paytirib, boshqa biror tenglamasiga qo’shish natijasida 
 

sistema hosil qilinsa, 
 

sistema 
 

sistemadan 
II

tur elementar almashtirish natijasida hosil qilingan 
deyiladi.
I
tur va 
II
tur elementar almashtirishlarni qisqacha elementar almashtirish deb 
ham yuritamiz.
Har bir chiziqli tenglamalar sistemasiga uning kengaytirilgan matrisasini mos 
qo’ysak, u holda chiziqli tenglamalar sistemasi ustidagi elementar almashtirishlarga 
uning kengaytirilgan matrisasi ustida mos elementar almashtirishlar bajarilgan deb 
qarash 
mumkin. 
Aksincha, 
kengaytirilgan 
matrisa 
ustidagi 
elementar 

---

170 
almashtirishlarga (elementar almashtirishlar ta’rifini to’g’ridan-to’g’ri matrisalar 
uchun ham aytishimiz mumkin) tenglamalar sistemasi ustidagi mos elementar 
almashtirishlar.
Ta’rif 18.3.
Agar 
 

va 
 

sistemalar bir vaqtning o’zida birgalikda emas, 
yoki bir vaqtda birgalikda bo’lib, bir xil yechimlarga ega bo’lsa, 
 

va 
 

sistemalarga teng kuchli sistemalar deyiladi va 
   



ko’rinishda yoziladi.
Bir xil tartibli hamma tenglamalar sistemasi to’plamida kiritilgan teng kuchlilik 
munosabat ekvivalent munosabati bo’ladi (tekshiring!) va demak bu ekvivalentlik 
munosabati tuzilgan to’plamni kesishmaydigan sinflarga ajratadi va ekvivalent 
sistemalarni 
   


ko’rinishda yozish mumkin.
Teorema 18.3.
 

sistemaga qo’llangan elementar almashtirishlar natijasida 
hosil bo’lgan 
 

sistemaga teng kuchlidir.
Isbot. 
I
tip elementar almashtirishlar uchun teoremaning isboti to’g’ridan 
to’g’ri ko’rinib turibdi. Endi 
 

sistemaga 
II
tip elementar almashtirishlarni 
qo’llaymiz, ya’ni 
 

sistemaning biror-bir tenglamasini 
K


elementga 
ko’paytirib, boshqa bir tenglamasiga mos ravishda qo’shsak, ya’ni masalan 
i

nchi 
1
n
ik
k
i
k
a x
b



tenglamasini 

ga ko’paytirib, 
j

nchi 
1
n
jk
k
j
k
a x
b



tenglamasiga 
qo’shsak, yangi sistemaning 
j
satrida qolganlari o’zgarmagan holda


1
n
jk
ik
k
j
i
k
a
a
x
b
b




 

tenglama hosil bo’ladi. Agar 
0
0
0
1
2
,
, ...,
n
x
x
x
K
halqaning elementlari 
 

sistemaning yechimlari bo’lsa, u holda


0
0
0
1
1
1
n
n
n
jk
ik
k
jk
k
ik
k
j
i
k
k
k
a
a
x
a x
a x
b
a









 




---

171 
tenglamaning ham yechimi bo’ladi va aksincha. Elementar almashtirishlar natijasida 
hosil bo’lgan 
 

tenglamalar sistemasining yechimi 
 

tenglamalar sistemasini 
yechimi bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
Shuni ta’kidlaymizki, elementar almashtirishlar ta’rifini chiziqli tenglamalar 
sistemasiga bog’liq bo’lmagan ravishda matrisalarga ko’chirishimiz mumkin, ya’ni 
 
,
,
m n
A B
M
P

ekvivalent matrisalar deyiladi, agar elementar almashtirish 
yordamida biridan ikkinchisiga o’tish mumkin bo’lsa. Bu haqiqatan ekvivalentlik 
munosabat bo’lib, matrisalar to’plamini kesimaydigan sinflarga ajratadai 
(tekshiring!).
Endi biz sistemani yechilish masalasini baholash va hal qilishning amaliy 
ravishda topishda eng qulay va hamma tomonlama qo’llanadigan noma’lumlarni 
ketma-ket yo’qotish usulini yoki Gauss usulini (metodini) keltiramiz.
1) Faraz qilaylik, 
 

sistemada 
11
0
a

bo’lsin. U holda sistemaning birinchi 
tenglamasini 
1
11
,
2,
i
a
i
m
a


ga ko’paytirib mos ravishda boshqa satrlarga qo’shsak, 
hosil bo’lgan sistemaning hamma 
1
x
oldidagi koeffisiyentlari nolga aylanadi.
2) Agar 
11
0
a

bo’lsa, 
1
x
ning 
2
i
a
koeffisiyentlari orasida noldan farqli 
bo’lgan tenglamasini izlaymiz va 
I
tip elementar almashtirishlar yordamida 
sistemaning birinchi tenglamasi bilan o’rinlarini almashtirib, yana biz birinchi xolatga 
kelamiz.
3) Agar 
1
x
oldidagi hamma 
1
i
a
koeffisiyentlar nollardan iborat bo’lsa, biz 
birinchi yoki ikkinchi holatlarni 
2
x
noma’lum uchun qo’llaymiz va hokazo.
Natijada biz 
 

sistemaga ekvivalent (teng kuchli) bo’lgan va matrisasi 
zinapoyali shaklda bo’lgan sistemaga kelamiz. Hosil bo’lgan sistemaga qarab, 
quyidagi xulosalarga kelamiz:
1) Agar sistemaning zinapoyali shaklda chap tomonida nol va o’ng tomonida 
noldan farqli hadlar qatnashuvchi tenglamalar qatnashsa, bunday sistema birgalikda 
bo’lmaydi.
2) Agar sistemaning zinapoyali shakli matrisani uchburchakli bo’lgan sistemali

---

172 
11 1
12 2
1
1
22 2
2
2
1
1
1
1
1
...
,
...
,
......................
n n
n n
n
n
n
n
n n
n
nn n
n
a x
a x
a x
b
a x
a x
b
a
x
a
x
b
a x
b
 








 




 








(1)
birinchi holatga kelamiz va
11
22
0,
0, ...,
0
nn
a
a
a






bo’lganligidan, sistema birgalikda bo’lib, aniqdir. Bu 
holda (1) ning oxirgi
nn
n
n
a x
b
 


tenglamasidan 
0
n
n
nn
b
x
a



noma’lum topiladi. Topilgan noma’lumni bitta yuqoridagi 
tengligiga qo’yib, 
1
0
n
x

topiladi va hokazo. Natijada bu hamma 
0
0
0
1
2
,
, ...,
n
x
x
x
larni 
topamiz. Bular (1) ning va demak unag ekvivalent bo’lgan (2) sistemaning yagona 
yechimi bo’ladi.
3. Sistemaning zinapoyali shaklida zinapoya uchlarida turuvchi noma’lumlar 
soni 
r
ta 


1
min
,
r
m n
 
bo’lsin. U holda ularni tenglamalarni chap tomoniga 
qoldirib, qolgan hamma 
n r

ta noma’lumlarni tenglamalarning o’ng tomoniga 
o’tkazilib, ozod o’zgaruvchilar sifatida qabul qilamiz. Sistemaning chap tomonida 
turgan 
r
ta noma’lumlar 
r
ta tenglamalar sistemasi uchburchakli shakli sistema 
bo’ladi. Endi tenglamalarni o’ng tomoniga o’tgan 
n r

noma’lumlar qiymatlar 
berib, qolgan 
r
ta noma’lumlarni 2) holatga asosan topamiz va demak sistema cheksiz 
ko’p yechimlar ega, ya’ni birgalikda aniqmas.
Agar bizga chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsa, uni 
uchburchak shaklga kelishi yagona nol yechimga ega ekanligini va agar u zinapoya 
shaklda bo’lsa, aniqmas bo’ladi, ya’ni cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi. Bundan 
tashqari qaralayotgan sistemada tenglamalar soni noma’lumlar sonidan kichik bo’lsa, 
ya’ni 
m
n

, u holda sistemamiz uchburchak shakliga keltirilishi mumkin emas, 
chunki Gauss metodi bo’yicha o’zgartirish prosessida tenglamalar soni kamayishi 

---

173 
mumkin, ammo ortishi mumkin emas va demak sistema zinapoyasimon shaklda 
keltiriladi, ya’ni aniqmas bo’ladi.
Misollar. Ushbu sistemalarni baholang va yeching:
1.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
5,
2
3
4
2,
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x












bu sistemaning kengaytirilgan matrisasini elementar almashtirishlar yordamida 
o’zgartiramiz:
1
2
1
3
5
1
2
1
3 5
2
3
4 1
2
0
1
2
5 8
1
1
3
2 3
0
1
2
5 2
1
2
1
3 5
0
1
2
5 8
0
0
0
0 6














  












 



















0
6

tenglamaga ega bo’lgan sistemaga keldik va demak berilgan sistema birgalikda 
emas.
2.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
2,
2
5
9,
2
5
4
23
x
x
x
x
x
x
x
x
x





 



sistemaning kengaytirilgan matrisasini o’zgartiramiz:

---

174 
1
1
3
2
1
1 3
2
1
2
5
9
0
3
2
11
2
5
4 23
0
3
10 19
1
1 3
2
0
3
2
11
0
0
8 8










 
































sistemaning matrisasi uchburchak shaklga keldi va demak u birgalikda aniq bo’lib, 
hosil bo’lgan matrisadan berilgan tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo’lgan
1
2
3
4
2
3
4
2
3
5,
2
5
8,
0
6
x
x
x
x
x
x
x









tenglamalar sistemasiga o’tsak, undan berilgan tenglamalar sistemasiga teng kuchli
1
2
3
2
3
3
3
2,
3
2
11,
8
8
x
x
x
x
x
x




 


tenglamalar sistemasiga o’tib, pastdan yuqoriga qarab harakat qilib, 
1
2
3
2,
3,
1
x
x
x

 
 
yagona yechimlarini topamiz.
3.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
2,
2
4
3
2,
2
2
7
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



 




 


 
sistemaning kengaytirilgan matrisasini qaraymiz:

---

175 
1
2
3
4
2
1
2
3
4
2
2
4 1
3
2
0
0
5 11
6
1 2
2
7
4
0
0
5
11 6
1
2
3
4
2
0
0
5 11 6
0
0
0
0
0




 




















 









 










sistemaning matrisasining shakli zinapoyasimon (trapesiyasimon) shaklga keladi va 
demak u birgalikda, aniqmasdir. 
1
3
,
x
x
noma’lumlar oldidagi 1, 5,
2
r

tasi 
uchburchak shaklni beradi va demak 
4
2
2
n
r
   
ta 
1
4
,
x
x
noma’lumlari o’ng 
tomonga o’tkazib ozod o’zgaruvchilar sifatida qabul qilamiz, ya’ni ixtiyoriy qiymatlar 
beramiz va sistemani yechamiz:
1
3
2
4
3
4
3
2
2
4 ,
5
6
11
x
x
x
x
x
x

  




4
3
6 11
5
x
x



va buni yuqoridagi tenglamaga olib borib qo’ysak
2
4
1
8 10
13
5
x
x
x



hosil bo’ladi. Shunday qilib,
2
4
1
4
3
8 10
13
,
5
6 11
5
x
x
x
x
x



 

lar berilgan tenglamalar sistemasi yechimlarining umumiy ko’rinishi bo’ladi. Bu 
formulada 
2
x
va 
4
x
larga ixtiyoriy qiymatlar bersak, biz 
1
x
, 
3
x
larni topamiz. 
Masalan, 
2
4
1,
1
x
x


qiymatlar 
bersak, 
1
3
1,
1
x
x


topilib, 
1
2
3
4
1,
1,
1,
1
x
x
x
x




lar berilgan sistemani xususiy yechimi bo’ladi.

---

176