|
2-m i s o l.
ham gruppoid (bu yerda
– sonlarni ko’paytirish). ■
3-m i s o l.
lar gruppoid emas. ■
4-m i s o l.
va
-- lar gruppoid emas, chunki
birinchi o’nlik sonlarini qo’shish va ko’paytirish uning chegarasidan tashqariga
chiqarib yuborishi mumkin:
bo’lsa hamki
. ■
5-m i s o l.
Agar
kompozitsiya
bo’lsa u holda
gruppoid
bo’ladi. Unda oldingi misollardan farqli ravishda hamma vaqt ham
bo’lavermaydi (masalan,
). ■
6-m i s o l.
bo’lsin. Kompozitsiyani quyidagi jadval bilan beriladi:
* a b e
a a e a
b e a b
e a b e
Ko’rinib turibdiki,
- gruppoid. ■
7-m i s o l.
bo’sh bulmagan to’plam bo’lsin. Almashtirishlar
kompozitsiyasi (ko’paytmasi):
a)
to’plamning hamma almashtirishlari;
b)
to’plamning hamma inyektiv almashtirishlari;
s)
to’plamning hamma suryektiv almashtirishlari;
d)
to’plamning hamma biyektiv almashtirishlari
to’plamlarida binar algebraik amallar bo’ladi. Demak,
a
),
b
),
c
), va
d
) hollardagi
algebraik sistemalar gruppoidlardir. ■
Agar ixtiyoriy
lar uchun
bo’lsa,
dagi *
binar algebraik amallar
assosiativ
deyiladi.
)
(
)
,
(
N
)
,
(
N
:)
,
(
),
,
(
N
N
)
},
10
,...,
2
,
1
({
)
},
10
,...,
2
,
1
({
}
10
,...,
2
,
1
{
4
,
3
,
8
,
7
}
10
,...,
2
,
1
{
4
3
},
10
,...,
2
,
1
{
8
7
b
a
b
a
)
,
(
N
a
b
b
a
2
3
3
2
}
,
,
{
e
b
a
A
)
,
(
A
X
X
X
X
X
A
с
b
а
,
,
с
b
a
с
b
a
)
(
)
(
A
152
Agar * kompozitsiya assosiativ bo’lsa,
gruppoid
polugruppa
(yarimgruppa)
deyiladi.
8-m i s o l.
va
polugruppalardir, chunki hamma vaqt
va
. ■
9-m i s o l.
amalli
sistema polugruppa emas, chunki
tenglik hamma vaqt ham to’g’ri bo’lavermaydi, masalan,
■
10-m i s o l.
Hamma rasional amallarning
to’plami uchun
amalli
gruppoid polugruppa emas, chunki ixtiyoriy
elementlar uchun
va
qiymatlar hamma vaqt ham mos
tushavermaydi. ■
Agar har qanday
element uchun
va
bo’lsa,
gruppoidning elementi
neytral
element deyiladi.
11-m i s o l.
Har qanday gruppoidda ham neytral element mavjud
bo’lavermaydi.
da neytral element yo’q;
da bor, u 0 sonidir;
da neytral element 1 dir.
bo’lgan
da ixtiyoriy
a
element
uchun
bo’lishini ko’ramiz. Ammo bu yerda 1 faqat bir tomondan (o’ngdan)
neytrallik vazifasini bajaradi, biroq
(
bo’lganda). Shuning uchun 1
neytral element bo’lmaydi. (boshqa hyech bir element ham neytral element
bo’lolmaydi) ■
Neytral elementga ega bo’lgan polugruppa
monoid
deyiladi. Agar bu neytral
element oshkor ko’rsatilgan bo’lsa
monoid binar amalli (* kompozitsiya) va
har bir elementni o’zgarishsiz qoldiradigan nulyar amallardan iborat ikki ammalli
algebraik sistemaniifodalaydi, ammo umumiy holda bu monoidniundagi nulyar
amalni oshkor ko’rsatmay
ko’rinishda ifodalaydilar. ■
12-m i s o l.
da ixtiyoriy
lar uchun
EKUB(a, b)
bo’lsa,
monoid bo’ladi. Bu yerda
. ■
)
,
(
A
)
,
(
N
)
,
(
N
с
b
a
с
b
a
)
(
)
(
с
ab
bс
a
)
(
)
(
b
a
b
a
)
,
(
N
c
b
b
a
a
c
)
(
)
(
.
)
3
(
3
2
1
)
1
(
2
Q
2
b
a
b
a
*)
,
(
Q
Q
с
b
а
,
,
2
2
)
(
c
b
a
c
b
a
2
2
)
(
c
b
a
c
b
a
A
a
a
e
a
a
a
e
)
,
(
A
e
)
,
(
N
)
},
,...,
2
,
1
,
0
({
)
,
(
N
b
a
b
a
)
,
(
N
a
a
1
a
a
1
1
а
e
)
,
,
(
e
A
e
)
,
(
A
)
,
(
N
N
,
,
b
a
b
a
)
,
(
N
1
e
153
13-m i s o l.
to’plam,
uning hamma qism to’plamlari to’plami
bo’lsin. U holda
a
) to’plamlar kesishmasi
da binar algebraik amal bo’ladi. Bu amal
assosiativ,
ning o’zi neytral element bo’ladi. Shuning uchun
monoid.
b
) to’plamlar birlashmasi
da binar algebraik amal bo’ladi. Bu amal
assosiativ. Bo’sh to’plam neytlar element bo’ladi. Demak,
monoid.
■
Agar
bo’lsa, element
monoidning
elementiga
teskari
element
deyiladi.
Monoidning har bir elementi ham
teskarilanuvchi
(ya’ni teskari elementga ega)
bo’lavnrmaydi. Ammo agar
-- teskarilanuvchi bo’lsa, u holda, unga teskari
element faqat bitta bo’ladi va
orqali belgilanadi. Teskari elementning ta’rifiga
asosan
bo’lgani uchun
ga teskari element bo’lib
a
xizmat
qiladi
,
ya’ni
kompozitsiyaning assosiativligidan
(ko’paytuvchilar soni
istalgancha bo’lishi mumkin) ifodaning ma’noga ega ekanligi kelib chiqadi, chunki
qavslarning ixtiyoriy tartibda joylashtirilishi bir xil natijaga keltiradi. Monoidning
ixtiyoriy sanoqdagi teskarilanuvchi elementlari kompozitsiyasi teskarilanuvchidir.
Har bir monoidda bitta teskarilanuvchi element albatta mavjud. Bu uning
neytral elementi.
Hamma elementi teskarilanadigan monoid
gruppa
(guruh)
deyiladi.
14-m i s o l.
gruppalardir
■
15-m i s o l.
gruppa emas, chunki
dan boshqa hamma butun sonlar
teskarilanmaydilar. ■
16-m i s o l.
monoidlar, gruppa emas, chunki
mavjud
emas. ■
17-m i s o l.
gruppalar. ■
X
)
(
X
P
)
(
X
P
X
)
),
(
(
X
P
)
(
X
P
)
),
(
(
X
P
e
a
b
b
a
b
,*)
(
A
A
a
A
a
1
a
e
a
a
a
a
1
1
1
a
.
)
(
1
1
a
a
f
d
c
b
a
.
e
)
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
C
R
Q
Z
).
,
0
(
1
a
a
e
)
,
(
Z
1
)
,
(
),
,
(
),
,
(
C
R
Q
1
0
)
},
0
{
\
(
),
},
0
{
\
(
),
},
0
{
\
(
C
R
Q
154
M A S H Q L A R
1
. Natural sonlarning
N
to’plamida binar algebraik amallar quyidagi tengliklar
bilan berilgan.
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
f
)
g
)
h
)
Har bir algebraik sistemani xarakterlab bering, ya’ni gruppoid, polugruppa, monoid
yoki gruppa ekanligini aniqlang.
2.
Hamma musbat haqiqiy sonlarning
algebraik amallar quyidagi tengliklar
bilan berilgan.
a
)
b
)
c
)
d
)
e
)
M = {1, 2, . . . ,
);
(
ЭКУБ
a, b
b
a
);
(
ЭКУБ
a, b
b
a
;
2
*
b
a
b
a
;
2
2
b
a
b
a
);
(
max
a, b
b
a
);
(
min
a, b
b
a
;
1
|
|
b
a
b
a
.
a
b
a
0
R
;
a b
b
a
;
3
a b
b
a
;
b
a
b
a
;
b
a
b
a
1.
b
a
155
5-amaliy mashg`ulot
Binar amallarning ayrim xossalari. Algebraik sistemalar haqida boshlang‘ich
tushunchalar. Algebraik sistemalar uchun gomomorfizm va izomorfizm
tushunchalari.
–
ixtiyoriy bo’sh bo’lmagan to’plam bo’lsin. Agar to’plamning ma’lum tartibda
olingan
ta elementi mos qilib qo’yilgan bo’lsa,
da
n-ar algebraik amal
aniqlangan
deyiladi. Boshqacha qilib aytganda
n-
ar algebraik amal
akslantirishdir. soni
amalning arligi
deyiladi.
0–ar (nular) amal
ning qandaydir elementini doimiylashtiradi (ya’ni bu amal
ning hamma elementlarini bitta elementga o’tkazadi);
1-ar (unar) amal
har bir
elementga
elementni mos qilib
qo’yadi.
2-ar (binar) amal
elementlarning har bir tartiblangan juftiga
elementni mos qilib qo’yadi.
3-ar (ternar) amal
elementlarning har bir tartiblangan uchligiga
elementni mos qilib qo’yadi va h.k.
Biz asosan binar algebraik amallarni qarab chiqamiz. Binar algebraik amal
ko’pgina hollarda umumiy shaklda * belgi bilan, bu amalning
a
va
b
elementlarga
tadbiq etilishi natijasi esa
shaklda belgilanadi. Bunday belgilashda (bu amalni
qandaydir biror aniq amal, masalan,
va h.k. bilan almashtirganda) * amalning
o’zi kompozitsiya, uning va elementlarga tadbiq etilishi natijasi, ya’ni
element va elementlar
kompozitsiyasi
deyiladi. Algebraik amallar majmo’i (ular
istalgan arlik bo’lishi mumkin) aniqlangan bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy to’plam
algebraik sistema (algebraik struktura, algebraik tizim)
deyiladi.
Shuni qayd qilamizki, da binar algebraik amal ta’rifi va elementlarning
kompozitsiyasi; birinchidan
ga tegishli, ikkinchidan bu kompozitsiya bir
qiymatli va uchinchidan va elementlar tartibiga bog’liq bo’lishini talab qiladi.
* algebraik amalli to’plam
shaklda belgilanadi va
gruppoid
deyiladi.
1-m i s o l.
Agar
(natural sonlar to’plami),
А
А
п
А
A
A
f
n
:
п
f
А
А
A
а
A
а
f
)
(
A
b
а
,
A
b
а
f
)
,
(
A
с
b
а
,
,
A
c
b
а
f
)
,
,
(
b
a
:
,
,
,
а
b
b
a
а
b
A
а
b
b
a
A
а
b
A
)
,
(
A
,...}
3
,
2
,
1
{
N
A
156
– esa oddiy ma’nodagi qo’shish
bo’lsa, u holda
gruppoid bo’ladi. ■
Do'stlaringiz bilan baham: |
