|
2-m i s o l.
ham gruppoid (bu yerda
– sonlarni ko’paytirish). ■
3-m i s o l.
lar gruppoid emas. ■
4-m i s o l.
va
-- lar gruppoid emas, chunki
birinchi o’nlik sonlarini qo’shish va ko’paytirish uning chegarasidan tashqariga
chiqarib yuborishi mumkin:
bo’lsa hamki
. ■
5-m i s o l.
Agar
kompozitsiya
bo’lsa u holda
gruppoid
bo’ladi. Unda oldingi misollardan farqli ravishda hamma vaqt ham
bo’lavermaydi (masalan,
). ■
6-m i s o l.
bo’lsin. Kompozitsiyani quyidagi jadval bilan beriladi:
* a b e
a a e a
b e a b
e a b e
Ko’rinib turibdiki,
- gruppoid. ■
7-m i s o l.
bo’sh bulmagan to’plam bo’lsin. Almashtirishlar
kompozitsiyasi (ko’paytmasi):
a)
to’plamning hamma almashtirishlari;
b)
to’plamning hamma inyektiv almashtirishlari;
s)
to’plamning hamma suryektiv almashtirishlari;
d)
to’plamning hamma biyektiv almashtirishlari
to’plamlarida binar algebraik amamllar bo’ladi. Demak,
a
),
b
),
c
), va
d
) hollardagi
algebraik sistemalar gruppoidlardir. ■
Agar ixtiyoriy
lar uchun
bo’lsa, dagi * binar
algebraik amallar
assosiativ
deyiladi.
)
(
)
,
(
N
)
,
(
N
:)
,
(
),
,
(
N
N
)
},
10
,...,
2
,
1
({
)
},
10
,...,
2
,
1
({
}
10
,...,
2
,
1
{
4
,
3
,
8
,
7
}
10
,...,
2
,
1
{
4
3
},
10
,...,
2
,
1
{
8
7
b
a
b
a
)
,
(
N
a
b
b
a
2
3
3
2
}
,
,
{
e
b
a
A
)
,
(
A
X
X
X
X
X
A
с
b
а
,
,
с
b
a
с
b
a
)
(
)
(
A
157
Agar * kompozitsiya assosiativ bo’lsa,
gruppoid
polugruppa
(yarimgruppa)
deyiladi.
8-m i s o l.
va
polugruppalardir, chunki hamma vaqt
va
. ■
9-m i s o l.
amalli
sistema polugruppa emas, chunki
tenglik hamma vaqt ham to’g’ri bo’lavermaydi, masalan,
■
10-m i s o l.
Hamma rasional amallarning
to’plami uchun
amalli
gruppoid polugruppa emas, chunki ixtiyoriy
elementlar uchun
va
qiymatlar hamma vaqt ham mos
tushavermaydi. ■
Agar har qanday
element uchun
va
bo’lsa,
gruppoidning elementi
neytral
element deyiladi.
11-m i s o l.
Har qanday gruppoidda ham neytral element mavjud
bo’lavermaydi.
da neytral element yo’q;
da bor, u 0 sonidir;
da neytral element 1 dir.
bo’lgan
da ixtiyoriy
a
element
uchun
bo’lishini ko’ramiz. Ammo bu yerda 1 faqat bir tomondan (o’ngdan)
neytrallik vazifasini bajaradi, biroq
(
bo’lganda). Shuning uchun 1
neytral element bo’lmaydi. (boshqa hyech bir element ham neytral element
bo’lolmaydi) ■
Neytral elementga ega bo’lgan polugruppa
monoid
deyiladi. Agar bu neytral
element oshkor ko’rsatilgan bo’lsa
monoid binar amalli (* kompozitsiya) va
har bir elementni o’zgarishsiz qoldiradigan nulyar amallardan iborat ikki ammalli
algebraik sistemaniifodalaydi, ammo umumiy holda bu monoidniundagi nulyar
amalni oshkor ko’rsatmay
ko’rinishda ifodalaydilar. ■
12-m i s o l.
da
ixtiyoriy
lar uchun
EKUB(a, b)
bo’lsa,
monoid bo’ladi. Bu
yerda
. ■
13-m i s o l.
to’plam,
uning hamma qism to’plamlari to’plami
bo’lsin. U holda
)
,
(
A
)
,
(
N
)
,
(
N
с
b
a
с
b
a
)
(
)
(
с
ab
bс
a
)
(
)
(
b
a
b
a
)
,
(
N
c
b
b
a
a
c
)
(
)
(
.
)
3
(
3
2
1
)
1
(
2
Q
2
b
a
b
a
*)
,
(
Q
Q
с
b
а
,
,
2
2
)
(
c
b
a
c
b
a
2
2
)
(
c
b
a
c
b
a
A
a
a
e
a
a
a
e
)
,
(
A
e
)
,
(
N
)
},
,...,
2
,
1
,
0
({
)
,
(
N
b
a
b
a
)
,
(
N
a
a
1
a
a
1
1
а
e
)
,
,
(
e
A
e
)
,
(
A
)
,
(
N
N
,
,
b
a
b
a
)
,
(
N
1
e
X
)
(
X
P
158
a
) to’plamlar kesishmasi
da binar algebraik amal bo’ladi. Bu amal
assosiativ, ning o’zi neytral element bo’ladi. Shuning uchun
monoid.
b
) to’plamlar birlashmasi
da binar algebraik amal bo’ladi. Bu amal
assosiativ. Bo’sh to’plam neytlar element bo’ladi. Demak,
monoid.
■
Agar
bo’lsa, element
monoidning
elementiga
teskari
element
deyiladi.
Monoidning har bir elementi ham
teskarilanuvchi
(ya’ni teskari elementga ega)
bo’lavnrmaydi. Ammo agar
-- teskarilanuvchi bo’lsa, u holda, unga teskari
element faqat bitta bo’ladi va
orqali belgilanadi. Teskari elementning ta’rifiga
asosan
bo’lgani uchun
ga teskari element bo’lib
a
xizmat
qiladi
,
ya’ni
kompozitsiyaning assosiativligidan
(ko’paytuvchilar soni
istalgancha bo’lishi mumkin) ifodaning ma’noga ega ekanligi kelib chiqadi, chunki
qavslarning ixtiyoriy tartibda joylashtirilishi bir xil natijaga keltiradi. Monoidning
ixtiyoriy sanoqdagi teskarilanuvchi elementlari kompozitsiyasi teskarilanuvchidir.
Har bir monoidda bitta teskarilanuvchi element albatta mavjud. Bu uning
neytral elementi.
Hamma elementi teskarilanadigan monoid
gruppa
(guruh)
deyiladi.
14-m i s o l.
gruppalardir
■
15-m i s o l.
gruppa emas, chunki
dan boshqa hamma butun sonlar
teskarilanmaydilar. ■
16-m i s o l.
monoidlar, gruppa emas, chunki
mavjud
emas. ■
17-m i s o l.
gruppalar. ■
M A S H Q L A R
1
. Natural sonlarning
N
to’plamida binar algebraik amallar quyidagi tengliklar
bilan berilgan.
a
)
);
(
ЭКУБ
a, b
b
a
b
)
);
(
ЭКУБ
a, b
b
a
c
)
;
2
*
b
a
b
a
)
(
X
P
X
)
),
(
(
X
P
)
(
X
P
)
),
(
(
X
P
e
a
b
b
a
b
,*)
(
A
A
a
A
a
1
a
e
a
a
a
a
1
1
1
a
.
)
(
1
1
a
a
f
d
c
b
a
.
e
)
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
C
R
Q
Z
).
,
0
(
1
a
a
e
)
,
(
Z
1
)
,
(
),
,
(
),
,
(
C
R
Q
1
0
)
},
0
{
\
(
),
},
0
{
\
(
),
},
0
{
\
(
C
R
Q
159
d
)
;
2
2
b
a
b
a
e
)
);
(
max
a, b
b
a
f
)
);
(
min
a, b
b
a
g
)
;
1
|
|
b
a
b
a
h
)
.
a
b
a
Har bir algebraik sistemani xarakterlab bering, ya’ni gruppoid, polugruppa, monoid
yoki gruppa ekanligini aniqlang.
2.
Hamma musbat haqiqiy sonlarning
0
R
algebraik amallar quyidagi tengliklar
bilan berilgan.
a
)
;
a b
b
a
b
)
;
3
a b
b
a
c
)
;
b
a
b
a
d
)
;
b
a
b
a
e
)
1.
b
a
Qar bir algebraik sistemani xarakterlab (tavsiflab) bering.
3
.
X
bo’lsin.
X
ning barcha qismto’plamlari to’plami
)
(
X
P
da
algebraik amallar quyidagi tengliklar bilan berilgan.
a
)
;
\
B
A
B
A
b
)
).
\
(
)
\
(
A
B
B
A
B
A
Har bir algebraik sistemani xarakterlab bering.
4
.
2
A
to’plamda (bu yerda
A
ixtiyoriy to’plam)
amal
)
,
(
)
,
(
)
,
(
d
a
d
c
b
a
qoida bilan aniqlangan.
2
A
to’plam shu amalga nisbatan polugruppa bo’ladimi?
2
A
da neytral element mavjudmi?
5
.
0
0
0
1
0
0
0
0
1
matritsaning hamma darajalaridan iborat polugruppa nechta
elementga ega? Bu polugruppa gruppa bo’la oladimi?
6*
. Polugruppaning ixtiyoriy
a
elementi uchun
)
(
z
za
z
az
bo’lsa
z
polugruppaning
o’ng (chap) noli
deyiladi. Agar polugruppada ham o’ng, ham chap
nollar mavjud bo’lsa, ularning hammasi bitta element bo’ladi, ya’ni yagona ikki
tomonlama nol mavjud bo’ladi. Shuni isbot qiling.
7*
. Polugruppaning
o’ng (chap) biri
deb shunday
u
elementga aytiladiki, har
qanday
a
element uchun
)
(
a
ua
a
au
bo’ladi. Agar polugruppada ham o’ng,
ham chap birlar mavjud bo’lsa, ularning hammasi bitta element bo’lishini, ya’ni
yagona bitta ikki tomonlama bir mavjud bo’lishini isbot qiling.
160
Do'stlaringiz bilan baham: |
