|
8
. Polugruppaning elementi bir vaqtning o’zida o’ng nol va chap bir
bo’laoladimi?
9*
. O’ng qisqartirishli (ya’ni
ca
ba
dan
c
b
hosil bo’ladigan) va aqalli bitta
chap birga ega bo’lgan chekli (ya’ni elementlari soni chekli bo’lgan) polugruppa
gruppa bo’lishini isbot qiling.
10
. Gruppa bo’laolmaydigan o’ng qisqartirishli chekli polugruppaga misol
tuzing.
11
. Chekli
}
,...,
{
1
n
a
a
A
to’plamda
binar amal
Keli jadvali
bilan aniqlangan
bo’lsin. Bu
n
ta satr va
n
ta ustundan iborat bo’lib, uning
i
satri bilan
j
ustuni
kesishgan joyda
A
ning
j
i
a
a
ga teng elementi turadi. Bu jadval
ko’paytirish jadvali
ham deyiladi. Quyidagi amallar uchun Keli jadvallari tuzing:
a
)
}
12
,
6
,
4
,
3
,
2
,
1
{
to’plamda eng kichik umumiy karralini topish;
b
)
}
12
,
6
,
4
,
3
,
2
,
1
{
to’plamda eng katta umumiy bo’luvchini topish;
c
)
})
2
,
1
({
P
da to’plamlarning birlashmasini topish;
d
)
})
2
,
1
({
P
da to’plamlarning kesishmasini topish;
.
,
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
,
)
8
7
6
5
4
3
2
1
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
f
e
funksiyalar kompozitsiyasini topish.
12.
}
1
,...,
1
,
0
{
m
m
Z
to’plamda algebraik amallarni quyidagiga aniqlaymiz:
a
)
b
a
son
b
a
ni
m
ga bo’lishdan hosil bo’ladigan qoldiq. Bu amalni
m
modul bo’yicha qo’shish
deb atab
bilan belgilaymiz;
b
)
b
a
son
ab
ni
m
ga bo’lishdan hosil bo’ladigan qoldiq. Bu amalni
m
modul bo’yicha ko’paytirish
deb atab
belgi bilan belgilaymiz.
)
,
(
m
Z
va
)
,
(
m
Z
algebraik sistemalarni xarakterlang.
4
,
3
,
2
n
hollar
uchun ularning Keli jadvallarini tuzing.
161
6-7-amaliy mashg`ulot
Chiziqli tenglamalar sistemalari va ularning matrisalari
Teng kuchli (ekvivalent) tenglamalar sistemasi. Birgalikda va birgalikda bo‘lmagan
chiziqli tenglamalar sistemalari.
Bizga
K
halqada
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
...
,
...
,
...............................................
...
,
n
n
n
n
m
m
mn
n
m
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
(1)
tengliklar berilgan bo’lib,
1
2
,
, ...,
n
x x
x
noma’lumlar va uning oldidagi
11
12
,
, ...,
nn
a
a
a
K
elementlarga
noma’lumlar
oldidagi
koeffisiyentlar,
1
2
,
,...,
n
b b
b
K
elementlari esa ozod hadlarga ega bo’lgan
n
ta noma’lumli
m
ta
chiziqli tenglamalar sistemasi yoki
n m
tartibli tenglamalalar sistemasi yoki
qisqacha tenglamalar sistemasi deb ataymiz. Ko’p hollarda qulaylik uchun nima haqda
so’z yuritilishi ma’lum bo’lsa sistema deb ham yuritamiz. Sistemadagi
ij
a
koeffisiyentlarning
,
i j
indeksi, shu koeffisiyentning
i
nchi tenglamaning
j
nchi
noma’lumli oldida turuvchi hadi tushuniladi.
Agar (1) sistemada hamma ozod hadlar
0,
1,
i
b
i
m
bo’lsa, unga
bir jinsli
tenglamalar sistemasi deb ataladi. Ko’p hollarda bunga nisbat berib, (1) sistema
bir
jinsli bo’lmagan
sistema sistema deb ham yuritiladi. Agar (1) sistemada
m
n
bo’lsa, bu sistema
n
tartibli sistema ham deb o’qiladi.
(1) sistemaning yechimi deb, shunday
0
0
0
1
2
,
,...,
n
x x
x
K
elementlarga
aytiladiki, bu elementlarni tenglamalarning har biridagi
i
x
noma’lumlari o’rniga mos
ravishda
,
1,
i
x i
n
lar bilan almashtirishda (1) sistemaning har bir tenglamasi
ayniyatga aylansa.
Yechimga ega bo’lgan tenglamalar sistemasiga
birgalikda bo’lgan
sistema
deyiladi.
162
Masalan,
bir jinsli tenglamalar sistemasi hamma vaqt birgalikda, chunki
0
0,
1,
i
x
i
n
lar uning yechimi bo’ladi.
Agar (1) sistema yagona (faqat bitta) yechimga ega bo’lsa, unga birgalikda aniq
va agar bittadan ortiq yechimlarga ega bo’lsa aniqmas sistema deyiladi.
Birorta ham yechimlarga ega bo’lmagan sistemalarga birgalikda bo’lmagan
sistemalar deyiladi.
Shuni ta’kidlaymizki, (1) sistemani ko’p hollarda qulaylik uchun qisqacha
1
1,
n
ik
k
i
k
a x
b
i
m
(2)
va agar bir jinsli bo’lsa,
1
0
1,
n
ik
k
k
a x
i
m
(3)
yig’indilar (summalar) ko’rinishlarda yozib ishlatishimiz mumkin.
Chiziqli tenglamalar sistemasini o’rganish va ayniqsa yechim masalasi bu
sistemaning koeffisiyentlaridan tuzilgan ushbu
1
11
12
21
22
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
n
n
m
m
mn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
(4
)
to’g’ri burchakli to’rtburchak matrisasining (jadvalning) o’rganish xossalariga
bog’liq. Bunday matrisa
m
ta satrli va
n
ta ustunli matrisa yoki qisqacha
m n
tartibli matrisa deyiladi. Bu yerda
ij
a
elemnetlar matrisaning
i
nchi satri va
j
nchi
ustuniga joylashganlikni bildiradi. Agar
m
n
bo’lsa, matrisaga
n
tartibli kvadrat
yoki qisqacha
n
tartibli matrisa deb o’qiladi. Matrisalarni qisqacha
ij
a
yoki
,
1, ,
1,
ij
a
i
m
j
n
ko’rinishlarda ham yoziladi.
163
Matrisada, agar
1
m
bo’lsa, unga bir satrli matrisa va agar
1
n
bo’lsa, bir
ustunli matrisa deb ataladi. Bir satrli matrisalar ko’p hollarda bitta indeksli elementlar
bilan, ya’ni
1
2
,
, ...,
n
a a
a
(gohida vergullar qo’ymasdan)
va xudi shunday bir ustunli matrisalar
1
2
1
2
,
,...,
m
m
a
a
a a
a
a
ko’rinishlarda yoziladi. Shunga asosan, matrisalarni satrlarini
1
2
,
,...,
m
A A
A
va
ustunlarini
1
2
,
,...,
n
A A
A
belgilar orqali yozishimiz mumkin.
K
halqada berilgan
m n
tartibli matrisalar to’plamini
,
m n
M
K
yoki
qisqacha
,
m n
M
orqali belgilaymiz.
m
n
da
n
M
kvadratik matrisalar to’plamini
bildiradi.
Kvadrat matrisaning
11
22
,
, ...,
nn
a
a
a
elementlar to’plami uning bosh
diagonali deyiladi. Agar kvadratik matrisaning bosh diagonalida tashqaridagi barcha
elementlar nol bo’lsa, u diagonal matrisa deyiladi va ba’zan
11
22
,
, ...,
nn
diagA
diag a
a
a
ko’rinishda yoziladi. Agar diagonal matrisada
11
22
...
1
nn
a
a
a
bo’lsa, u
birlik matrisa deyiladi va
n
E
yoki qisqacha
E
orqali belgilanadi.
Hamma elementlari nollardan iborat matrisaga nol matrisa deyiladi va
,
m n
O
m n
tartibli bo’lsa va
n
tartibli bo’lsa,
n
O
ko’rinishlarda yoki qisqacha
O
ko’rinishda yoziladi.
164
Kvadratik matrisalarda bosh diagonaldan pastda yoki yuqorida turga barcha
elementlari nollardan iborat bo’lsa, bunday matrisaga uchburchakli matrisa deyiladi,
ya’ni
1
12
11
2
22
...
...
0
...
...
...
...
...
0
0
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
.
Agar matrisaning to’g’ri burchakli trapesiyali shaklida joylashgan boshqa
elementlari nollardan iborat bo’lsa, bunday matrisaga trapesiyali matrisa deyiladi va
agar trapesiyali matrisada katta asosiy birinchi matrisaning kichik asosidan kichik
bo’lgan ikkinchi bir to’g’ri burchakli trapesiya joylashgan bo’lib, bu ikki trapesiyada
joylashmagan boshqa hamma elementlari nollardan iborat bo’lsa, bunday matrisalarga
zinapoyali matrisalar deyiladi.
Xuddi shunday joylashgan ikki trapesiyalar emas. Balki bir nechta bo’lishi
mumkin va bizni asosan asoslari satrlarda joylashgan trapesiyasimon matrisalargina
qiziqtiradi. Yuqorida berilgan trapesiyali yoki zinapoyali matrisalar masalan
quyidagicha bo’lishlari mumkin:
bu yerda
*
yulduzcha belgisi elementlarini joylashgani, katta nollar qolgan hamma
joylarda nollarni joylashganini ko’rsatadi.
Yuqorida (1) sistema bo’yicha kiritilgan (4) matrisaga sistemaning asosiy
matrisasi deyiladi. Bu matrisaning o’ng tomoniga sistemaning ozod hadlaridan iborat
1
2
,
,...,
m
b b
b
ustunini joylashtirsak,
m
satrli
1
n
ustunli
1
11
12
1
21
22
2
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
...
n
n
m
m
m
mn
a
a
a
b
a
a
a
b
A
a
a
b
a
(5)
165
matrisa hosil bo’ladi.
A
ga (1) sistemaning kengaytirilgan matrisasi deyiladi va
|
A B
yoki
|
ij
i
a
b
ko’rinishlarda ham yoziladi. Odatda sistemaning yechish
masalasi, uning asosiy va kengaytirilgan matrisalarining xossalarini o’rganishga
keltiriladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
