|
Elementar almashtirishlar yordamida determinantlarni hisoblash
n-tartibli
determinantni hisoblashni
(n-
1
)-tartibli
bitta determinantni
hisoblashga olib kelish mumkin.
201
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
d
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
.
Determinantni hisoblash kerak bo’lsin. Agar birinchi ustunning barcha elementlari
nolga teng bo’lsa, u holda
d = 0
(2-xossa) bo’ladi; agar
a
11
= 0, lekin
a
k1
0 bo’lsa,
u holda 1- va
k
- satrlar o’rnini almashtirib, yuqori chap burchakda noldan farqli
elementni hosil qilamiz. Demak, umumiylikni saqlagan holda
a
11
0 deb hisoblash
mumkin. 2-satrga
11
21
a
a
ga ko’paytirilgan 1-satrni, 3-satrga
11
31
a
a
ga
ko’paytirilgan 1-satrni, ...,
n
-satrga
11
1
a
a
n
ga ko’payti-rilgan 1-ustunni qo’shamiz.
Determinantning qiymati o’zgarmaydi (8-xossa) va quyidagi ko’rinishni oladi:
1
1
11
2
2
22
1
12
11
...
0
...
...
...
...
...
0
...
n
ij
nn
n
n
n
b
a
b
b
b
b
a
a
a
d
.
1-m i s o l.
2
1
0
5
1
3
1
2
0
1
4
3
1
2
1
1
d
determinantni hisoblang.
Yechish..
Determinantda quyidagi almashtirishlarni bajaramiz:
a) 1-ustun elementlarini 2-ustunning mos elementlariga qo’shamiz;
v) (-2) ga ko’paytirilgan 1-ustun elementlarini 3-ustunning mos elementlariga
qo’shamiщ;
s) (-1) ga ko’paytirilgan 1-ustun elementlarini 4-ustunning mos elementlariga
qo’shamiz.
Natijada determinantning qiymati o’zgarmaydi:
202
3
11
5
5
1
1
3
2
3
7
7
3
0
0
0
1
2
1
0
5
1
3
1
2
0
1
4
3
1
2
1
1
.
Birinchi satrda uchta nol bo’lganligi sababli bu determinantni 1-satr elementlari
bo’yicha yoyish qulaydir. Shunday qilib,
0
63
77
15
35
99
21
3
11
5
1
1
3
3
7
7
)
1
(
1
1
1
d
.■
2-m i s o l.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
determinantni hisoblang.
Yechish.
Har bir keyingi ustundan 1-ustunni ayiramiz.
8
2
0
0
0
2
0
0
0
2
)
1
(
1
2
0
0
1
0
2
0
1
0
0
2
1
0
0
0
1
1
1
.■
n
-tartibli determinantlarni hisoblash usullari
Sonli determinantlarni hisoblashda qo’llaniladigan ma’lum usullar juda ko’p
hisoblashlarni bajarishni talab qiladi. Harfiy va sonli determinantlarning ma’lum bir
ko’rinishlari uchun ularni hisoblashning ba’zi bir usullari ishlab chiqilgan.
1.
Determinantni uchburchak ko’rinishiga olib kelish usuli
203
Bu usulning asosiy g’oyasi – dioganaldan bir tomonda turgan barcha
elementlar elementar almashtirishlarni bajarib nolga keltiriladi. Agar bosh
dioganaldan bir tomonda yotgan elementlar nolga teng bo’lsa, bunday determinant
bosh diagonaldagi barcha elementlar ko’paytmasiga teng bo’ladi. Agar
determinantning yordamchi diagonalidan bir tomonda yotgan barcha elementlar nolga
teng bo’lsa, u holda bunday determinant
2
)
1
(
)
1
(
n
n
ishora bilan olingan diagonaldagi
barcha elementlar ko’paytmasiga teng.
1-m i s o l.
n
-tartibli determinantni hisoblang:
n
n
n
n
d
...
3
2
1
...
...
...
...
...
...
0
2
1
...
3
0
1
...
3
2
1
.
Yechish.
Birinchi satrni qolgan satrlariga qo’shib chiqamiz. Natijada bosh
diagonalning pastida turgan barcha elementlari nolga teng bo’lgan determinant hosil
bo’ladi:
n
n
n
n
d
...
0
0
0
...
...
...
...
...
2
...
3
0
0
2
...
6
2
0
...
3
2
1
.
Demak,
!
3
2
1
n
n
d
■
2-m i s o l.
n
-tartibli
a
a
a
x
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
a
d
...
...
...
...
...
...
...
determinantni hisoblang.
Yechish.
Oxirgi ustunga oldingi barcha ustunlarni qo’shamiz:
204
x
na
a
a
x
a
x
na
x
a
a
a
x
na
a
a
a
d
...
...
...
...
...
...
...
.
Determinant belgisi ostidan oxirgi ustundagi umumiy ko’paytuvchi -
na + x
ni chiqaramiz. Oldingi ustunlarning har biridan
a
ga ko’paytirilgan oxirgi
ustunni ayiramiz. Natijada yordamchi diagonalidan yuqorida turgan barcha
elementlari nollardan iboratbo’lgan uchburchak ko’rinishidagi determinantga
kelamiz:
1
0
...
0
1
0
...
0
...
...
...
...
...
1
...
0
0
1
0
...
0
0
)
(
x
x
x
x
na
d
.
Demak,
1
2
)
1
(
)
(
)
1
(
n
n
n
x
na
x
d
.■
2.
Chiziqli ko’paytuvchilarni ajratish usuli
Bu usulning asosiy g’oyasi
n
-tartibli determinantga bir yoki bir necha
o’zgaruvchilarning
m
-tartibli ko’phadi sifatida qaraydi. Bevosita yoki ma’lum
almashtirishlarni bajarib determinant bo’linadigan
m
ta o’zaro tub bo’lgan chiziqli
ko’paytuvchilar topiladi. U holda determinant o’zgarmas ko’paytuvchi
S
aniqligida
shu chiziqli ko’paytuvchilarning ko’paytmasiga teng bo’ladi. O’zgarmas
S
soni mos
ravishda determinantning hadi va chiziqli ko’paytuvchilar ko’paytmasidagi hadini
solishtirish natijasida topiladi.
3-m i s o l.
n
-tartibli determinantni hisoblang.
205
a
x
n
a
x
n
a
x
n
d
...
3
2
1
...
...
...
...
...
...
2
1
...
3
1
...
3
2
1
.
Yechish.
Determinantning diagonalidagi elementlari ko’paytmasi
x
ni eng katta
- (
n
– 1 )-darajada saqlaydi. Demak, bu determinant
x
ning (
n
– 1 ) darajali
ko’phadidir.
x
ning
x =
2
- a, x =
3
- a, ..., x = n – a
qiymatlarida bu determinantning
mos holda 1- va 2-, 1- va 3-, .. , 1- va
n
-satrlari bir xil bo’ladi va natijada determinant
nolga teng bo’ladi. Shunday qilib,
d
determinant
x + a -
2
, x + a -
3
, ..., x + a – n
ga
bo’linadi va demak,
d = c
(
x + a -
2)(
x + a -3
)
...
(
x + a – n )
(*)
c
sonni topish uchun bosh diagonaldagi elementlarini ko’paytirishda hosil
bo’lgan
x
n-
1
hadni (*) ning o’ng tomonidagi
c x
n-
1
had bilan solishtiramiz. Bu hadlar
teng bo’lishi shartidan
s
= 1 ni va natijada
d =
(
x + a – 2
) (
x + a – 3
)
...
(
x + a – n
)
ni hosil qilamiz. ■
4-m i s o l.
x
a
b
c
a
x
c
b
b
c
x
a
c
b
a
x
determinantni hisoblang.
Yechish.
1-ustunga qolgan ustunlarni qo’shamiz; natijada birinchi ustunning
barcha elementlari (
x – a – b – c
) ga teng bo’ladi. Demak,
d
determinant (
x – a – b
– c
) ga bo’linadi. Agar 1-ustundan 2-ustunni ayirib, 3-ustunni qo’shib va 4-ustunni
ayirsak, u holda 1-ustunning barcha elementlari ±1 aniqligida
x + a - b + c
ga teng
bo’ladi. Demak,
d
determinant
x + a – b + c
ga bo’linadi. Agar 1-ustundan 2- va 3-
ustunlarni ayirsak, va 4-us-tunni qo’shsak, u holda ±1 aniqligida 1-ustun elementlari
x + a + b - c
ga teng bo’ladi, demak,
d
determinant
x + a + b - c
ga bo’linadi. Natijada
d = m ( x – a – b – c ) ( x + a – b + c ) ( x – a + b + c ) ( x + a + b - c)
ga ega bo’lamiz.
Bu ifodada
m
soni
x, a, b, c
sonlardan bog’liq emas.
m
sonini aniqlash uchun
d
determinantning bosh diagonali elementlarni ko’paytirishdan hosil bo’ladigan
x
4
hadni o’ng tomonda hosil bo’ladigan
mx
4
bilan solishtirib,
m
= 1 ni hosil qilamiz.
Shunday qilib,
206
d = ( x – a – b – c ) ( x + a – b + c ) ( x – a + b + c ) ( x + a + b –c )
. ■
Do'stlaringiz bilan baham: |
