|
Matrisa rangi. Matrisa rangi haqidagi asosiy teorema.
Bizga
maydonda
(1)
tartibli matrisa berilgan bo’lsin. Bu matrisaning ustunlaridan tuzilgan
vektorlar sistemasini tuzamiz:
(2)
Ta’rif 1.
Matrisaning rangi deb, uning ustunlaridan tuzilgan vektorlar
sistemasining rangiga aytiladi, ya’ni
,
0
P chek P
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
,
1, ;
1,
...
...
...
...
...
s
s
ij
n
n
ns
a
a
a
a
a
a
A
a
P i
n j
s
a
a
a
n
s
( )
1
11
12
1
2
21
22
2
1
2
(
,
,...,
)
,
(
,
,...,
)
.........................................
(
,
,...,
)
n
n
n
n
n
r
s
s
ns
a
a
a
P
a
a
a
P
a
a
a
P
226
.
Tabiykim matrisani rangi ta’rif bo’yicha hisoblash ancha murakkab masala
hisoblanadi.
(Rangini hisoblashning boshqacha, ya’ni oson va tez hisoblash yo’li
bormi?)
To’g’ri to’rtburchakli matrisa uning satr va ustunlarinning kesishgan joyida
turuvchi elementlardan tartibli (
) determinant ajratib olamiz. Hosil
bo’dgan determinantga matrisaning tartibli minori deyiladi.
Bizni matrisaning minorlari ichida noldan farqli eng yuqori tartibli minorlari
qiziqtiradi. Dastlab quyidagi muhim lemmalarni keltiramiz:
Lemma 2.
Agar matrisaning barcha tartibli minorlari nolga teng bo’lsa,
barcha
tartibli (
) minorlari ham nolga teng bo’ladi.
Isbot. Bizga
tartibli minorlar berilgan bo’lsin. U holda Laplas
teoremasiga asosan, bu minor hamma tartibli minorlarning algebraik yig’indisidan
iborat bo’ladi va bular nolga tengligidan
minorning nolga tengligi kelib
chiqadi.
Lemma 3.
Agar matrisaning tartibli noldan farqli bo’lsa, u holda shu
minorda hisoblangan ustunlardan tuzilgan vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi.
Isbot. Teskarisidan faraz qilamiz, ya’ni agar bu vektorlar sistemasi chiziqli
bog’langan bo’lsa, u holda minorning ustunlari shu minorning boshqa ustunlarining
chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak determinantning xossasiga asosan
minor nolga teng bo’ladi. Bu farazimiz esa lemma shartiga ziddir.
Endi matrisaning rangini minorlar yordaida hisoblashni beruvchi asosiy teoremani
keltiramiz:
Teorema 4.
Matrisaning rangi, uning noldan farqli eng kata minorlarining
tartibiga tengdir.
Isbot. Faraz qilaylik, matrisaning rangi ga teng bo’lib, uning birinchi ta
ustunlari chiziqli erkli bo’lsin. Shu ustunlarning elementlarida
bosh minorni tuzib
va uni o’z ichiga oluvchi ixtiyoriy
tartibli minorni qaraymiz. Shuni
( )
rankA
rank
k
k
k
min( , )
k
n s
k
A
k
(
1)
k
min( , )
k
n s
(
1)
k
k
(
1)
k
k
r
r
r
M
(
1)
r
227
ta’kidlaymizki lemmaga asosan
va
agar
tartibli minor
mavjud bo’lsa teorema shu yerni o’zida isbot bo’ladi. Faraz qilaylik
tartibli minor
ko’rinishda bo’lsin.
Bu minorni oxirgi ustun bo’yicha yoyib chiqamiz:
bu yerda
dan iboratdir. Hocil bo’lgan tenglikda
bo’lganligi uchun
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglik barcha
uchun to’g’ri bo’lib, uning koeffisiyentlari ga bog’liq bo’lganligi tufayli
matrisaning ustuni aynan mos holda
koeffisiyentlari
bilan olingan birinchi ta ustunining yig’indisidan iborat bo’ladi.
Bu teoremaning isbotlash davomida biz muhim xulosaga keldik, ya’ni agar
determinant nolga teng bo’lsa, uning bir usutuni qolgan ustunlarining chiziqli
kombinasiyalaridan iborat bo’ladi, ya’ni biz determinantning xossasiga teskari
xossani ham o’rinli bo’lishligini ko’rsatdik. Ikkinchidan teorema shartiga asosan biz
tartibi dan katta bo’lgan hamma minorlarning nol bo’lishini ko’rsatishimiz kerak
edi, ammo teoremani isbotining davomida faqat noldan farqli o’z ichiga oluvchi
minorni nol bo’lishini ko’rsatsak kifoyadir. Albatta bu matrisani rangini hisoblashga
ancha yengillashtiradi.
Biz teoremadan kelib chiqqan holda bir xulosaga kelamizki agar biz matrisani
rangi ta’rifini, uning satrlaridan tuzilgan vektorlarning rangiga teng deb olganimizda
0
r
M
1
0
r
M
(
1)
r
1
r
M
11
1
21
2
1
...
...
0,
,
...
...
...
...
r
ij
r
rj
r
i
ir
ij
a
a
a
a
a
a
A
i j
r
M
a
a
a
1
1
1
2
2
0
r
j
j
j
j
rj
rj
ij
ij
M
a A
a A
a A
a A
1
( 1)
i j
ij
r
A
M
0
ij
A
1
2
1
1
2
j
j
rj
j
j
j
rj
ij
ij
ij
A
A
A
a
a
a
a
A
A
A
,
1,
i j
n
i
A
j
1
2
,
,
,
j
j
rj
ij
ij
ij
A
A
A
A
A
A
r
r
228
ustun va satr bo’yicha kiritilgan ranglar teng bo’ladi, chunki noldan farqli minor uni
transponirlash natijasida noldan farqlicha qolaveradi.
Misol. Ushbu matrisani
tartibli matrisani rangini hisoblaymiz. Shuni ta’kidlaymizki bu matrisada eng
yuqori tartibli minor, bu uchinchi tartibli minordir.
Bu minorni o’z ichiga oluvchi ikkinchi tartibli minorini qaraymiz:
,
Endi bu noldan farqli
minorini o’z ichiga oluvchi minorlarini qaraymiz:
,
,
va demak noldan farqli eng kata minori ikkinchi tartibli minori bo’lganligidan
bo’ladi.
Matrisalarni rangini ya’ni bitta qulay usuli, bu matrisalarga elementar
almashtirishlar qo’llash yordamida topish usulidir, chunki bizga ma’lumki
matrisalarga elementar almashtirishlar ta’sir etishi natijasida unining noldan farqli
2
1 3
2 4
4
2 5
1
7
2
1 1
8
2
A
3 5
1
2
0
M
1
2
2
1
0
4
2
M
2
2
2
3
2
0
4
5
M
2
2
M
1
2
2
3
2
4
5
1
0
2
1
8
M
2
2
2
3
4
4
5
7
0
2
1
2
M
3
3
2
1 3
4
2
5
0
2
1 1
M
2
rank A
229
minori noldan farqlicha va nolga teng minori nolga tengligicha qolaveradi va demak,
agar
bo’lsa, u holda
bo’ladi.
Natijada biz matrisada yetarlicha nollarni paydo qilib, so’rnra uning minorlarini
hisoblasak matrisaning rangini hitsoblash ancha oson kechadi. Bundan tashqari biz
elementar almashtirishlar nafaqat matrisaning satri uchun balki ustunlari uchun
bajarilishini talab qilsak, u holda biz matrisa unga ekvivalent bo’lgan va bosh
diagonalida birlar soni
ta bo’lgan matrisaga keladi. Bu usulni yuqorida
keltirgan matrisaga bajaramiz:
hosil qilamiz. Bu matrisada faqat bitta noldan farqli eng katta
minor mavjud
va uning bosh diagonalida ikkita bir sonlari joylashgan va demak uning rangi 2 ga,
bundan esa berilgan matrisani rangi 2 ekanligini hosil qilamiz.
Shuni ta’kidlaymizki butun sonlar halqasida berilgan matrisani rangi to’g’ridan
to’g’ri kiritishimiz hisoblashimiz mumkin, albatta halqalar tipiga qarab ayrim
muammolar paydo bo’lishi mumkin. Masalan halqada berilgan matrisa elementar
almashtirishlar qullash natijasida, ung ekvivalent bo’lgan matrisa diagonal shaklga
keladi, ammo bu diagonalda hamma vaqt ham bir sonlari joylashavermaydi. Biz
Algebra va sonlar nazariyasi kursida bunday holatlarni ko’ramiz, lekin keyinchalik
ayrim tipdlagi halqada, anqrog’i ko’phadlar halqasida berilgan matrisalarni
o’rganishda bu masalaga batafsil to’xtalib o’tamiz.
A
B
rank A
rank B
rank A
r
2
1 3
2 4
2
1
3
2
4
1
1
3
2
4
4
2
5
1
7
0
0
1
5
1
0
0
1 5
1
2
1 1
8
2
0
0
2 10
2
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0 0
0
1
0
0 0 0
0
0
1 5
1 ( 1)
0
1
0 5
1
0
1
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0 0 0
1
0
0
1
230
Do'stlaringiz bilan baham: |
