Mavzu: Fazoda to’g’ri chiziq tenglamalari

Mavzu: Fazoda to’g’ri chiziq tenglamalari.

• 
  Fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi.
  
• 
  Fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi.
  
• 
  Fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi.
  

13.1 Fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi. Fazodagi L to‘g‘ri chiziq tenglamasini topish uchun unga parallel bo‘lgan biror a =(m, n, p) vеktor shu to‘g‘ri chiziqda yotuvchi biror М₀(х₀, у_0, z₀) nuqta ma’lum deb olamiz. Bunda a berilgan L to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vеktori, M₀ esa boshlang‘ich nuqtasi deyiladi.

M(x, y, z) berilgan L to‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy bir nuqtasi bo‘lsin. Bu va M₀ nuqtalarni tutashtirib,
r=
vеktorni hosil qilamiz (38-rasmga qarang).

Agar M(x, y, z) nuqta berilgan L to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lsa va faqat shu holda r bilan a yo‘naltiruvchi vеktor kollinear bo‘ladi. Bundan va vektorlarning kollinearlik shartidan (III bob, §3, (6) formulaga qarang) foydalanib, L to‘g‘ri chiziqni ifodalovchi
(1)
tenglamaga ega bo‘lamiz.
1-TA’RIF: (1) fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.
To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasidagi kasrlarning maxrajlaridagi m,n va p sonlari yo‘naltiruvchi a vеktorning koordinatalari, suratlardagi х₀,у₀ va z₀ sonlari esa boshlang‘ich M₀ nuqtaning koordinatalari ekanligini ta’kidlab o‘tamiz.
Izoh. Agar a =(m, n, p) yo‘naltiruvchi vektorning biror koordinatasi 0 bo‘lsa, (1) kanonik tenglamadagi tegishli kasrning surati ham 0 deb olinadi. Masalan, n=0 bo‘lsa, unda L to‘g‘ri chiziq tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu holda a=(m,0,p) yo‘naltiruvchi vektor OY koordinata o‘qiga perpendikular joylashgani uchun L to‘g‘ri chiziq ham OY o‘qiga perpendikular bo‘ladi.

1. 
   Fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi. Fazodagi to‘g‘ri chiziqning (1) kanonik tenglamasidagi o‘zaro teng bo‘lgan kasrlarning qiymatlarini t deb belgilaymiz. Bunda t parametr deb ataladi va ixtiyoriy haqiqiy qiymatni qabul eta oladi. Bu holda fazodagi to‘g‘ri chiziq tenglamasini quyidagi ko‘rinishga keltiriladi:
   

2-TA’RIF: (2) fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi.
Masalan, kanonik tenglamasi

bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi
x=5+3t, y=−1+4t, z=−2t
ko‘rinishda bo‘ladi.
Agar fazodagi to‘g‘ri chiziq (2) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, uning kanonik tenglamasiga o‘tish uchun har bir tenglamadan t parametr ifodasini topib, bu ifodalarni tenglashtirish kerak. Masalan, to‘g‘ri chiziq
x=−4+5t, y=6−3t, z=−1−2t
parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. Bu to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini topamiz:

2. 
   Fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi. Fazodagi har qanday L to‘g‘ri chiziqni o‘zaro parallel bo‘lmagan qandaydir ikkita P₁ va P₂ tekisliklarning kesishish chizig‘i singari qarash mumkin. Bu P₁ va P₂ tekisliklar mos ravishda A₁x+ B₁y+ C₁z+D₁=0 va A₂x+ B₂y+ C₂z+D₂=0 umumiy tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin. Bu holda ularning kesishishidan hosil bo‘lgan L to‘g‘ri chiziqqa tegishli M(x, y, z) nuqtalar ham P₁, ham P₂ tekisliklarda yotadi va shu sababli ularning koordinatalari
   

(3)
chiziqli tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi.
3-TA’RIF: (3) sistema fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
Agar fazodagi L to‘g‘ri chiziq (1) kanonik tenglamasi orqali berilgan va, masalan, p≠0 bo‘lsa, uning umumiy tenglamasiga quyidagicha o‘tish mumkin:


Hosil qilingan (4) sistema berilgan L to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi bo‘ladi, chunki bu sistema (3) ko‘rinishda bo‘lib, undan
A₁=p, B₁=0, C₁=−m, D₁=mz₀−px₀ va A₁=0, B₁=p, C₁=−n, D₂=nz₀−py₀
holda kelib chiqadi. Bunda L to‘g‘ri chiziq birinchisi OY, ikkinchisi esa OX o‘qiga parallel bo‘lgan tekisliklarning kesishishidan hosil qilinadi.
Izoh. Fazodagi berilgan L to‘g‘ri chiziqning (3) umumiy tenglamasini cheksiz ko‘p ko‘rinishda yozish mumkin. Bunga sabab shuki, bu L to‘g‘ri chiziq orqali cheksiz ko‘p tekislik o‘tkazish mumkin va ulardan ixtiyoriy ikkitasini tanlab olib, (3) umumiy tenglamaga kelib bo‘ladi. Yuqorida kanonik tenglamadan umumiy tenglamaga o‘tishda shu tekisliklar ichidan biri OY, ikkinchisi esa OX o‘qiga parallel bo‘lganlari olindi.
Masalan, kanonik tenglamasi

bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamalaridan birini topamiz:
.
Endi aksincha, ya’ni fazodagi to‘g‘ri chiziq (3) umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. Bu holda (3) sistemada biror o‘zgaruvchini, masalan z o‘zgaruvchini, erkli deb olamiz va
(5)
chiziqli tenglamalar sistemasini hosil etamiz. Bu sistemani yechib,

ko‘rinishdagi kanonik tenglamaga kelamiz.
Misol sifatida umumiy tenglamasi
(6)
bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalaridan birini topamiz:


Umumiy tenglamasi (3) bilan berilgan L to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini boshqa usulda ham topish mumkin. Buning uchun (3) sistemadagi biror o‘zgaruvchiga aniq bir qiymat beriladi. Masalan, z=z₀ deb olinib, (5) sistemadan x=x₀ va y=y₀topiladi. Bu holda M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtani L to‘g‘ri chiziqning boshlang‘ich nuqtasi sifatida olish mumkin. Endi (3) sistemaga kiruvchi tekisliklarni P₁ va P₂ deb olsak, n₁=(A₁, B₁, C₁) va n₂=(A₂, B₂, C₂) ularning normal vektorlari bo‘ladi. Bu vektorlar mos ravishda P₁ va P₂ tekisliklarga perpendikular, L esa ularning kesishish chizig‘i ekanligidan , n₁ va n₂ normallarning ikkalasi ham L to‘g‘ri chiziqqa perpendikular bo‘ladi. Unda a= n₁× n₂ vektorial ko‘paytma L to‘g‘ri chiziqqa parallel vektorni ifodalaydi va shu sababli uning yo‘naltiruvchi vektori sifatida olinishi mumkin. Bu vektorning m,n, va p koordinatalari vektorial ko‘paytmaning ushbu formulasidan (III bob, §3, (2) formulaga qarang) topiladi:
n₁× n₂= . (7)
Masalan, yuqorida ko‘rilgan (6) umumiy tenglamada z=2 deb olamiz va quyidagi sistemani hosil etib, uni yechamiz:
.
Demak, M₀(0,1,2) nuqtani L uchun boshlang‘ich deb olish mumkin. Endi (7) formuladan a=(m,n,p) yo‘naltiruvchi vektorni topamiz:
a= =i −7j−5k= (1, −7, −5).

Demak, (6) umumiy tenglamasi bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasining yana bir ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:

.

XULOSA
Fazodagi to‘g‘ri chiziq o‘zining yo‘naltiruvchi vektori va boshlang‘ich nuqtasi bilan to‘liq aniqlanadi. Bu ma’lumotlar asosida to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi topiladi. Fazodagi to‘g‘ri chiziq kanonik tenglamadan tashqari parametrik va umumiy tenglamasi orqali ham berilishi mumkin. Kerak bo‘lganda bu tenglamalarning biridan ikkinchisiga o‘tib bo‘ladi.

Tayanch iboralar