O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti magistratura bo’limi matematika (yo’nalishlar bo’yicha) mutaxasisligi talabasi Ro’zikov Maxammadjon Mamirali o’g’lining

7-teorema. umumlashgan funksiya ochiq to’plamda manfiymas o’lchov bo’lishligi uchun uning to’plamda manfiymas bo’lishligi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi bevosita kelib chiqadi.Biz yetarliligini isbot qilamiz. umumlashgan funksiya to’plamda manfiymas bo’lsin. U holda ixtiyoriy kompakt joylashgan ochiq to’plamda barcha uchun shunday bir va uchun Bo’lgan funksiya mavjud bo’ladi. Shuning uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.Bundan umumlashgan funksiya ochiq to’plamda manfiymas ekanligidan

ya’ni uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.Bu hosil qilingan tengsizlik umumlashgan funksiyaning ochiq to’plamdagi tartibi nolg teng ekanligini ko’rsatadi. 6-teoremaga ko’ra umumlashgan funksiyaning ochiq to’plamdagi o’lchov bo’ladi.Teorema isbot boldi.
_{Oldingi punkda keltirilgan ta’rifga asosan singulyar umumlashgan funksiyani hech bir lokal integrallanuvchi funksiya bilan moslashtirish mumkin emas.Eng sodda singulyar umumlashgan funksiyaga misol sifatida uchun}

Bo’lgan Dirak ning funksiyasii keltirish mumkin.Ma’lumki, bo’ladi va uchun .Shunga ko’ra bo’ladi.
Endi funksiyaning <sub>singulyar umumlashgan funksiya eknligini isbot qilamiz. Teskarisiga faraz qilaylik. fazoda lokal integrallanuvchi funksiya mavjud bo’libixtiyoriy uchun

bo’lsin. Agar bo’lsa ,u holda bo’lib tenglikka ko’ra barcha uchun

tenglik o’rinli bo’ladi. Shunday qilib fazoda lokal integrallanuvchi funksiya umumlashgan funksiya ma’nosida nolga teng ekan.Dyu Byu-Reymond lemmasiga ko’ra tenglik deyarli hamma joyda bajariladi.Shunga ko’ra tenglik deyarli hamma joyda bajariladi.Bu esa tenglikka ziddir. Bu ziddiyat</sub> funksiyaning _{singulyar umumlashgan funksiya eknligini isbotlaydi.}
shapkacha funksiya uchun fazoda da

Yaqinlashuvchi ekanligini isbot qilamiz.Haqiqatan ham _{fazoda yaqinlashish tushunchasi ta’rifiga ko’ra} munosabatga ko’ra ixtiyoriy uchun

tenglikka ekvivalent bo’ladi. Bu tenglik

tengsizlik va funksiya uzluksiz funksiyz ekanligidan kelib chiqadi.
Nuqtaviy funksiyaning umumlashmasi sirt funksiyasi bo’ladi. fazodagi bo’lakli silliq sirt bo’lib, funksiya shu sirtda uzluksiz funksiya bo’lsin.Biz umumlashgan funksiyaning ixtiyoriy uchun

qoida bo’yicha aniqlaymiz.Ko’rinib turibdiki, va uchun bo’lib,shunga ko’ra bo’ladi.Agar bo’lsa u holda umumlashgan funksiyao’lcham bo’ladi.
umumlashgan funksiyaga zichlik berilgan sirt ustida jamlangan bo’ladi.Bu yerda oddiy qatlam zijligi mos sirt ustida diskret taqsimlangan

zichlikning sirt cheksiz maydalangandagi kuchsiz limiti kabi aniqlanadi.