O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti magistratura bo’limi matematika (yo’nalishlar bo’yicha) mutaxasisligi talabasi Ro’zikov Maxammadjon Mamirali o’g’lining

3. Egri chiziq ustida aniqlangan -funktsiya.
- da aniqlangan silliq egri chiziq qismi bo'lsin. Har qanday ϕ dan ni quyidagicha belgilaylik
2.4-§. Dirak delta funksiyasining tadbiqlari


dan olingan funksiya da lokal integrallanuvchi bo’lganligi sababli, bunday funksiyalar uchun Furye almashtirishi aniqlangan:
(1)
bu yerda

funksiyaning Furye almashtirishi.
manfiy bo’lmagan, komponentalari butun sonlardan iborat vector bo’lsin. orqali funksiyaning tartibli hosilasini belgilaymiz:
;
,
Shuningdek, keyinchalik yozuvlarni qisqartirish maqsadida
,
kabi belgilashlar ham ishlatiladi.
asosiy funksiyalar uchun (1) integral aslida chekli soha bo’yicha integraldan iborat. Shuning uchun Furye almashtirishini o’zgaruvchi bo’yicha integral ostida istalgancha differensiallash mumkin:
.
dan olingan funksiyalarning Furye almashtirishi da absolyut integrallanuvchi va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lgani uchun, Furye almashtirishlarining umumiy nazariyasidan unga teskari almashtirishning mavjudligi kelib chiqadi:
,
bunda
=
=
= .
Endi funksiya da absolyut integrallanuvchi bo’lsin. U holda uning Furye almashtirishi
,
da uzduksiz va chegaralangan bo’lib, ixtiyoriy funksiyalar uchun umumlashgan funksiyani aniqlaydi:

Integrallash tartibini o’zgartirish haqidagi Fubini teoremasidan foydalanib, oxirgi integralni o’zgartiramiz:

= .
Demak,
, ,
Bu tenglikni umumlashgan funksiyalarning Furye almashtirishi sifatida qabul qilamiz.
Misol.
tenglikning o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham, (21) ga asosan, ixtiyoriy uchun

=
Agar (22) da bo’lsa,

bo’ladi. Bu yerdan

Shuning uchun
.


Xulosa

Respublikamizda uzluksiz ta’limni joriy etishdan ko’zlangan asosiy maqsad – yosh avlodda yuqori kasbiy madaniyat, ijodiy va ijtimoiy-siyosiy faollik, erkin fikr yuritish kabi qobiliyatlarni shaklllantirishdan iborat. Bunda avvalo tahsil oluvchilarning faolligini oshirish talab qilinadi.

O‘qitishning samaradorligini oshirish va ularni har tomonlama turmushga tadbiq etishdan iborat ekanligi yanada oydinlashib qoldi.
Ushbu kurs ishida sekin o‘suvchi umumlashgan funksiyalar va ularning Furye almashtirishi va ularning tatbiqlari atroflicha o’rganildi.
Birinchi bobda umumlashgan funksiya tushunchasi. Regulyar va singulyar funksiyalar. " - shaklli" ketma – ketliklar, umumlashgan va cheksiz differensiallanuvchi funksiyalarning superpozitsiyasi, umumlashgan funksiyalarning dekart ko‘paytmasi va cheksiz differensiallanuvchi funksiyalarga ko‘paytmasi, umumlashgan funksiyalarning hosilasi, Umumlashgan funksiyalarning yig‘masi va uning xossalari, Dirakning delta funksiyasi xossalari ko’rsatilib va ta’riflar, teoremalar o’ganilib isbotlari bilan ko’rsatildi. Xar bir mazularda misol yordamida yanada to’liqroq yoritildi.
Ikkinchi bobida sekin o‘suvchi umumlashgan funksiyalar va ularning Furye almashtirishi o’rganildi. Har bir tabiiy jarayonning tadbiqi misollar bilan ko’rsatildi.
Sekin o’suvchi umumlashgan funksiyalarning Furye almashtirishlari o’qitilishida e’tibor qaratilishi lozim bo’lgan jihatlar ko’rib chiqildi. Har bir fikr misollar bilan mustahkamlandi. Bundan ko’rinadiki, bir qator tabiiy jarayonlarga oid masalalarni hal etishda oshkormas funksiyalarning amaliy ahamiyati katta ekan.