O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti magistratura bo’limi matematika (yo’nalishlar bo’yicha) mutaxasisligi talabasi Ro’zikov Maxammadjon Mamirali o’g’lining

2.2-§. Dirakning delta funksiyasi xossalari

Quyida keltirilgan Dirakning delta funksiyasi xossalari xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun qo’yilgan boshlang’ich, boshlang’ich-chegaraviy va chegaraviy masalalarni yechishda keng qo’llaniladi.

1) - cheksiz differensiallanuvchi akslantirish uchun teskari akslantirish mavjud va bo’lsin. U holda

2) agar bo’lsa, u holda

bu yerda da birlik sferaning yuzi.
3) agar , bo’lsa, u holda quyidagi tengliklar o’rinli bo’ladi:
a) (3a)
b) (3b)
bu yerda
1) - 2) xossalarning o’rinli ekanligi oldingi paragraflarda ko’rsatilgan edi.
(3a) xossani isbot qilamiz. Ixtiyoriy lar uchun



tengliklar o’rinli, bu yerda

Oxirgi tenglik bo’laklab integrallash yordamida hosil bo’ladi. deb, 1) xossadan foydalanamiz:
.
Bu formulani e’tiborga olib quyidagiga ega bo’lamiz:


=
= +
+
= .
Bu tengliklar (3a) ning birinchi formulasini isbot qiladi. (3a) ning ikkinchi formulasini asoslaymiz. Ixtiyoriy uchun quyidagi munosabatlar o’rinli:

=
= ,
bu yerda Oxirgi tenglikda o’zgaruvchini almashtiramiz:
=
= =
= =
= .
(3a) ning oxirgi tengligini asoslashga o’tamiz. Ixtiyoriy uchun:

= =
= .
(3b) tengliklar quyidagicha isbot qilinadi. (3a) tengliklari ga ko’paytiriladi. ekanligini hisobga olsak, (3b) tengliklar kelib chiqadi.