O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti magistratura bo’limi matematika (yo’nalishlar bo’yicha) mutaxasisligi talabasi Ro’zikov Maxammadjon Mamirali o’g’lining

1.3-§. Singulyar umumlashgan funksiya.
O‘lchovlar. Singulyar umumlashgan funksiya. Regulyar umumlashgan funksiyalarni saqlaydigan umumlashgan, funksiyalarning bir oz umumiyroq sinfi o‘lchovlar yordamida yaratiladi.

tenglik bilan berilgan va to‘plamdagi barcha chegaralangan Borel qism to‘plamida chekli, ya’ni bo‘lgan to‘la additiv (kompleks qiymatli) to‘plam funksiyasi Borel to‘plamidagi o‘lchov deb aytiladi.
to‘plamdagi barcha o‘lchov to‘rtta manfiymas o‘lchovlar orqali va to‘plamda formula bo‘yicha bir qiymatli tasvirlanadi. Shuningdek,
(3.3.20)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. o‘lchov ochiq to‘plamda uchun
(3.3.21)
formula bo‘yicha to‘plamdagi umumlashgan funksiyani aniqlaydi, bunda integral Riman-Stiltes ma’nosida tushuniladi. Bu integralning xossasidan, haqiqatdan ham ekanligi kelib chiqadi.
Eslatma. to‘plamdagi o‘lchov Lebeg o‘lchoviga nisbatan absolyut uzluksiz bo‘lgan, ya’ni , bunda bo‘lgan holda (3.3.21) formula regulyar umumlashgan funksiyani aniqlaydi.
Dyu Bua-Reymond lemmasiga o‘xshash quyidagi lemma ham o‘rinlidir.
6–lemma. ochiq to‘plamdagi o‘lchov nolga teng bo‘lishligi uchun uning yordamida yaratilgan umumlashgan funksiyaning shu sohada nolga aylanishi zarur va etarlidir.
Bu lemma dan ochiq to’plamdagi o’lchov va (3,3.2)formula bo’yicha undan yaratilgan umumlashgan funksiya to’g’risida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud bo’ladi.Shuning uchun biz keyinchalik ochiq toplamdagi o’lchov undan yaratilgan umumlashgan funksiyani mos qilib qo’yamiz.
6-teorema. umumlashgan funksiya ochiq to’plamdagi - o’lchov bo’lishligi uchun uning ochiq to’plamdagi tartibi nolga teng bo;lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zaruriyligi. umumlashgan funksiya ochiq to’plamdagi o’lchov bo’lsin. U holda ixtiyoriy kompakt joylashgan ochiq to’plamda barcha uchun

tengsizlikka ega bo’lamiz.Bunga ko’ra umumlashgan funksiya ochiq to’plamdagi tartibi nolga teng bo’lishini hosil qilamiz.