O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

2.3-§ Tenglamasini kvadrat radikallarda echib bo’lmaydigan geometrik masalalar
Bazi bir geometrik yasashlarni bajarishda ko’pincha sirkul va chizgichdan foydalaniladi.

Quyidagi uchta masalani garchi boshqa yasash qurollari yordamida bajarish mumkin bo’lsada, lekin fa­qat chizgich va sirkul yordamida xal etish mumkin emasligi masalasi diqqatga sazovordir. U masalalar quyidagilardan iborat:

1. Kubni ikkilash.

2. Burchakni teng uch bo’lakka bo’lish.

3. Muntazam ettiburchakni chizish.

Masalalar. 1. Xajmi x ga teng bflgan kubni ikkilash. Bu masala

(1)

tenglamani kvadrat radikallarda yechish degan so’zdir.

(1) tenglama kvadrat radikallarda yechilishi uchun asosan u darajasi ikkidan yuqori bo’lmagan tenglamalar zaijiriga keltiriladi.

Avvalo (1) tenglama ratsional sonlar maydoni, ya’ni Q da ildizga ega emasligini ko’rsataylik.

Biz bu masalaning teskarisini faraz kilib, (1) tenglama Q ga tegishli ildizga ega deylik. U holda ko’pxad Q da ikkita ko’paytuvchi ko’paytmasiga yoyilib, ulardan biri bo’lganda albatta ko’rinishga ega bo’lar edi. Lekin bunday bo’lishi mumkin emas, chunki ko’pxad ratsional sonlar maydoni ustida keltirilmaydngan ko’pxaddir.

P maydon sifatida ratsional sonlar maydonini olib, tenglamaga „kengaytmalar” mavzusidagi natijani qo’llaymiz. Bu natijaga ko’ra daraja darajaga bo’linadi. Lekin bo’lganidan u 3 ga bo’linmaydi. Demak, kubni ikkilash masalasi kvadrat radikalda yechilmaydi yoki boshqacha aytganda kubni faqat sirkul va chizg’ich yordamida ikkita kubga bo’lish mumkin emas.

2) burchakni uchta (teng) kogurent bo’laklarga bo’lish. Bu masalaning moxiyati shundan iboratki burchakni faqat chizg’ich va sirkul yordamida uchta kongruent bo’lakka bo’lib bo’lmaydi.

Bu deganimiz xar qanday burchakni xam uchta kongruent bo’lakka bo’lish mumkin emas degan so’z emas. Shunday burchaklar borki (masalan ), bularni sirkul vachizg’ich yordamida uchta congruent bo’lakka osongina bo’lish mumkin. Lekin istalgan burchakni uchta teng bo’lakka bo’lishningqattiy usuli mavjud emas. Buning uchun qaralayotgan masalani algebraic moxiyati nuqtai nazaridan tekshiramiz.

Faraz qilaylik biror burchakni kosinusi berilgan bo’lsin yani bo’lsin. Unda masala miqdorni o’lchashga keltiriladi. Ushbu

Tenglama berilgani uchun

(2)

Ko’rinishni oladi. Qo’yilgan masalani burchak uchun qaraymiz . da (2)

(3)

ko’rinishga ega bo’ladi.

Maqsadimiz, (3) tenglamaning birorta xam ratsional ildizga ega emasligini ko’rsatishdan iboratdir. Bu tasdiqning to’g’riligini ko’rsatish uchun v=2x almashtirish kiritib, (3) ni

(4)

shaklga keltirib olamiz.

Faraz qilaylik, (r;s)= 1 bo’lganda (4) tenglama ildizga ega bo’lsin. ni (4) ga qo’yib,

(5)

ga ega bo’lar edik. (5) ning chap tomoni r ga bo’linadi. Ikkinchidan, bo’lgani uchun son s² ga bo’linadi. (s; r) =1 bolgani uchun yuqoridagi shartlar faqatgina s=r=±1 bo’lgandagina bajariladi. Demak, v±1 ekan. Lekin v=+1 xam v=-1 xam (4) ni qanoatlantirmaydi, ya’ni qarama-qarshilikka uchradik.

Demak, (4) tenglamaning birorta ildizi xam ratsional sonlar maydoniga tegishli emas ekan, ya’ni qo’yilgan masalani faqatgina sirkul va chizgich yordamida yechish mumkin emas ekan.

3. Muntazam yettiburchakni yasash. Faraz kilaylik, muntazam yettiburchak birlik doira ichida chizilgan bo’lib, uning bir tomoni uzunligi x bo’lsin.

Agar bu yettiburchak uchlarining koordinatalarini (x; y) desak, bu koordinatalar

(6)

tenglamaning ildizlaridan iborat bo’ladi. (6) da dir. Biz karayotgan hol uchun n=7 bo’ladi.Demak, (6) tenglama

z⁷ —1=0 (7)

ko’rinishni oladi. (7) tenglamaning bitta ildizi z=1 bo’lgani uchun uni

(8)

ko’rinishda yozib olamiz. (8) ning ikkala tomonini z³ ga bo’lib,

(9)

ni xosil qilamiz. (9) ning chap tomoni z va ning simmetrik funksiyasidir. Shuning uchun uni asosiy simmetrik ko’pxadlar, ya’ni xamda lar

orqali ifodalay olamiz. U holda ushbu tenglik xosil bo’ladi:

(10)

Agar (10) tenglikda desak, u xolda (10) dan

(11)

tenglikni xosil qilamiz. So’ngra

lar o’zaro ko’shma kompleks sonlardir. Ularni qo’shib

(12)

ifodani xosil qilamiz.

Endi biz u ifodani sirkul ra chizg’ich bilan qura olsak, (12) ga asoslanib, ifodani xam qura olamiz va aksincha. Lekin u ifodani qurish masalasi (11) tenglamaning birorta ratsional ildizga ega bo’lish masalasi bilan bog’liqligini biz bilamiz. Shuning uchun (11) tenglamaning ratsional ildizlari yo’qligini ko’rsata olsak kifoya.

Teskarisini faraz qlaylik, ya’ni shunday r va s butun sonlar mavjudki, qisqarmaydigan kasr (11) ning ildizi bo’lsin. Unda (11) tenglama

(13)

ko’rinishni oladi. (13) tenglikni va kabi yozib, r³ ning s ga va, aksincha, s³ ning r ga bo’linishiga erishamiz. Bunday xolat (r; s)=1 bo’lgani uchun faqatgina r=s= ±1 bo’lganda yuz beradi. Demak, y = = + 1, y =±1 son (11) ning ildizi ekan. Lekin y =±1 soni (11) ning ildizi emasligini bevosita tekshirib bilish mumkin. Bundan esa qilgan farazimizning noto’g’ri ekanligi kelib chiqadi, ya’ni (11) ratsional ildizga ega emas. Demak, muntazam yettiburchakni fakatgina chizgich va sirkul yordamida chizish mumkin emas.

XULOSA

Algebra va sonlar nazariyasi oliy matematikaning fundamental bo’limlaridan bo’lib, matematika poydevori hisoblanadi.

Algebra va sonlar nazariyasi faninig asosiy vazifasi shu fanning tushuncha va tasdiqlar va boshqa matematik ma’lumotlar majmuasi bilan tanishtirishdangina iborat bo’lmasdan, balki talabalarni mantiqiy fikrlashga, matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga qo’llashni o’rgatishni ham o’z ichiga oladi.

Kurs ishi oliy ta’lim tizimining barcha bosqichlarida algebra va sonlar nazariyasi fanini o’qitishda muhim ahamyatga ega bo’lgan tenglamalarni kvadrat radikallarda yechilishi va kvadrat radikallarda yechilmaydigan masalalarni o’rganish, o’rgatish masalasiga bag’ishlangan.

Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat. Kirish qismida yurtimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar,ularning samarali natijasi va mavzu bo’yicha boshlang’ich ma’lumotlar berildi.

Asosiy qism mavzuni bo’yicha to’liq ma’lumotlar keltirilgan bo’lib yani tenglamalarni radikallarda yechish nazariyasi. Bu soxada ish olib brogan olimlar va ularning bu soxada erishgan yutuqlari kamchiliklari haqida. Uchinchi va to’rtinchi darajali tenglamalar, ularning kvadrat radikallarda yechilishi xaqida. Kvadrat radikallarda yechilmaydigan geometrik masalalar haqidagi to’liq ma’lumotlar keltirildi va mavzuga doir misollar bilan boyitildi.

Xulosa qiladigan bo’lsam algebra va sonlar nazariyasining har bir bo’limiga o’tganimizda unda yangidan yangi qiziqarli ma’lumotlarga duch kelamiz ularni o’quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o’qituvchining mahoratiga bog’liq. Mavzuni hayotga bog’lab tushuntirib berish undagi o’ziga xos xususiyatlarni o’quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O’qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo’lishi lozim va malakasini tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. O’qituvchining zamon bilan ham nafas bo’lishi ham bugungi kun talabi.

Shunday ekan biz bo’lajak pedagoglar o’qituvchilik sharafliligi bilan bir qatorda ma’suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda vaqtimiz imkonimiz borida o’qib o’rganib olishimiz kerak.

Yurtboshimizning bizga yaratib berayotgan cheksiz imkoniyatlaridan unumli foydalanib, bularga javoban-yetuk mutaxassis kadr bo’lib yetishishimiz va vatanimiz ravnaqiga o’z hissamizni qo’shishimiz kerak.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. 
   Nazarov R.N, Toshpo’latov B.T, Do’sumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. T., O’qituvchi. 1 qism, 1993 y. 2 qism, 1995 y.
   
2. 
   Yunusova D, Yunusov A. Algebra va nazariyasi. Modul texnologiyasi asosida tuzilgan misol va mashqlar to’plami. O’quv qo’llanma. T., “Ilm Ziyo”. 2009y
   
3. 
   Yunusov A. Yunusova D. Sonli sistemalar. T., “Moliya-iqtisod”, 2008.
   
4. 
   Yunusov A.S. Matematik mantiq va algoritmlar nazariyasi elementlari. T., “Yangi asr avlodi” 2006y.
   
5. 
   Yunusov A, Yunusova D. Algebra va sonlar nazariyasidan modul texnologiyasi asosida tuzilgan nazorat topshiriqlari to’plami. TDPU, 2004.
   
6. 
   To’raev X. Matematik mantiq va diskret matematika. T.O’qituvchi, 2003.
   
7. 
   Xojiev J.X., Faynleb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi. Toshkent, “O’zbekiston”, 2001 y.
   

8. 
   www.Ziyonet.uz
   
9. 
   www.edu.uz
   
10. 
    www.yandex.ru
    
11. 
    www.referat.uz