O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

II BOB. TENGLAMALARNI KVADRAT RADIKALLARDA YECHILISH TUSHUNCHASI
2.1-§ Uchinchi darajali tenglama
Kompleks sonlar maydoni ustidagi ushbu

(1)

Ko’rinishdagi tenglama uchinchi darajali bir noma’lumli tenglama deyiladi. (1) tenglamaning xar ikki tomonini a ga bo’lib, ushbu tenglamaga ega bo’lamiz:

(2)

(2) da almashtirishni kiritib,

(3)

tenglamani xosil qilamiz, (3) tenglamani soddalashtirgandan keyin

(4)

ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz. (4) tenglamadagi y o’zgaruvchi o’rniga ikkita u va v o'zgaruvchini y=u+v tenglik yordamida kiritamiz.

Natijada

(5)

tenglamaga ega bo’lamiz, (5) da u va v ni shunday tanlaylikki, natijada

(6)

shart bajarilsin. Bunday talab qo’yishimiz o’rinli, chunki

tenglamalar sistemasi y berilganda yagona echimga ega bo’ladi. (6) shartni e’tiborga olsak, (5) tenglama quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

(7)

(6) dan bo’lgani uchun u³ va v³ Viet teoremasisa asosan biror ko’rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari bo’ladi. Bu kvad­rat tenglamani yechishdan

(8)

ni xosil qilamiz (8) dan

topilib, u va v ning xar biriga uchta qiymat, y o’zgaruvchi uchun esa to’qqista qiymat topiladi. Ulardan (6) shartni qanoatlantirganlarini olamiz. U xolda (4) tenglamaning barcha echimlori topiladi.

Agar (bunda son 1 dan chiqarilgan ildiz yani ) ning uchinchi darajali ildizlprining qiymatlari bo’lsa, unga mos ning uchinchi darajali ildizlari qiymatlari bo’ladi. Natijada (4) tenglama ushbu

(9)

ildizlarga ega bo’lib, unda bo’lganidan

(10)

yechim xosil bo’ladi.

(10) va ni etiborga olib, (1) tenglamaning ,

va ildizlari topiladi.

Endi xaqiqiy koeffitsientli uchinchi darajali tenglama ildizlarini tekshiraylik.

Quyidagi teorema uchinchi darajali tenglamaning xaqiqiy va mavhum ildizlari sonini aniqlaydi.