O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

1.2-§ Tenglamalarni kvadrat radikallarda yechish
Algebraik tenglamani kvadrat radikallarda yechish masalasi matematiklarni uzoq vaqtlardan beri qiziqtirib kelgan masalalardan biridir.

Geometriya kursida biror a ifodani sirkul va chizg’ich yordamida qurish uchun a son darajasi ikkidan yuqori bo’lmagan tenglamaning ildizidan iborat bo’lishi lozimligi isbotlanadi. Demak, bu masala ham tenglamani kvadrat radikallarda yechish masalasiga keltirilar ekan. Umuman aytganda, biror kattalikni sir­kul va chizg’ich yordamida yasash masalasi darajasi ik­kidan yuqori bo’lmagan bir qancha tenglamalarni yechish masalasi bilan bog’likdir. Masalan,

sonni sirkul va chizg’ichda yasash mumkin. Chunki ifoda tenglamani kanoatlantiradi. Biz ni faqat sirkul va chizg’ich yordamida yasay olamiz. Undan so’ng ni yasaymiz. Bu erda ifoda tenglamaning ildizidir. Agar tenglamaning echimini a₃ desak, bo’ladi. Nixoyat, tenglamaning echi­mini sirkul va chizg’ich yordamida yasay olamiz. Bu esa berilgan ifodaning xuddi o’zidan iborat.

Tenglamalarni kvadrat radikallarda yechish uzoq tarixga ega. Yuqorida eslatib o’tganimizdek, kvadrat tenglamani radikallarda yechish masalasi bilan xatto qadimiy xindlar shug’ullangan. Kub tenglamalarni yechish masalasi Uyg’onish davrining matematiklari bo’lmish Italiya olimlari Tartalya va Kardanoga xam ma’lum bo’lgan. Shundan so’ng Kardanoning o’quvchisi to’rtinchi darajali tenglamani yechish usulini topdi. Ammo darajasi beshdan kichik bo’lmagan tenglama­larni radikallarda yechish masalasi butun dunyo olimlarining benixoyat katta urinishlariga sabab bo’ldi. 1770—1771 yillarda fransuz matematigi Lagranj be­rilgan tenglamalarning ildizini boshqa biror yordamchi tenglama ildizlari orqali ifodalash mumkinligini ko’rsatdi. Bu yordamchi tenglamani Lagranj rezol­venta deb atagan. Lekin Lagranj tomonidan kiritilgan mazkur tushuncha xam qo’yilgan savolga to’la javob bera olmadi.

Gap shundaki, ikkinchi, uchinchi va to’rtinchi darajali tenglamalar rezolventasining da­rajasi qaralayotgan tenglama darajasidan bittaga past bo’ladi. Ammo beshinchi darajali tenglamaning rezolventasi oltinchi darajali bo’lib qoladi. Shuning uchun Lagranj fikri ham tenglamani kvadrat radikallarda yechish masalasida yaroqsiz bo’lib chiqdi.

Lagranjdan so’ng butun dunyo matematiklari oldida darajasi beshdan kichik bo’lmagan tenglamalarni ra­dikallarda yechish uchun mavjud algebraik amallar yyetarli bo’ladimi, degan masala yuzaga keldi. Xatto 1798-yilda italyan matematigi Ruffini darajasi beshdan kichik bo’lmagan tenglamalar kvadrat radikal­larda echilmaydi, degan fikrni isbotlamoqchi bo’ldi. Lekin uning muloxazalari to’liq emasligi zamondoshlari tomonidan ko’rsatib berildi.

Darajasi beshdan kichik bo’lmagan umumiy ko’rinishdagi tenglamani radikallarda yechish mumkin emasligini birinchi bo’lib norvegiyalik matematik Abel (1802—1829) isbot etdi. Abel o’zining kisqagina umrida matematikaning turli soxalarida eng katta muvaffakiyatlarga erishgan matematikdir.

Ammo Ruffini va Abelning izlanishlari xam da­rajasi beshdan kichik bo’lmagan qanday tenglamalarni radikallarda yechish mumkin va qandaylari radikallar­da echilmaydi degan muxim savolga to’lik javob bera olmadi.

Bu masalani birinchi bo’lib, buyuk fransuz matema­tigi Evarist Galua (1811-1832) atroflicha xal etdi. Galua darajasi beshdan kichik bo’lmagan va radikal­larda echiladigan konkret tenglamalarni ko’rsatdi. Shuning bilan bir qatorda u tenglamani radikallarda yechilishining zarur va yyetarli shartlarini isbot kildi. Bu masala bilan shug’ullanishni istagan o’kuvchiga M. M. Postnikovning 1963-yilda nashr etilgan „Oсновы теории Галуа” kitobini xavola qilamiz.

Endi tenglamalarni kvadrat radikallarda yechilishining ba’zi bir shartlari bilan tanishib o’tamiz. Biz ko’rinishdagi ikki xadli tenglamaning yechilish koidasi bilan tanishgan edik. Ma’lumkn, bu tenglama tenglamaga keltirilib, oxirgi tenglamaning ildizi

formula bilan topilar edi. Demak, yuqori darajali tenglamalarni radikallarda yechish degan so’z ularning ildizlarini ikkixadli tenglama ildizlari orqali ratsional ifodalash demakdir. Boshqacha aytganda, yuqori darajali tenglamani bir qancha ikki xadli tenglamalarga keltirish mumkik bo’lsa, qo’yilgan masala yechilgan bo’ladi. Shunday qilib,

(1)

tenglamani bir nechta

(2)

tenglamalar yordamida yechish deganda biz (1) ning ildizlarini koeffisientlari bitta P maydonga tegishli bo’lgan (2) ning ildizlari orkali ratsional ifodalashni tushunamiz. Bu yerda tenglamalarning barchasi ikkixadli bo’lishi shart emas (ba’zi birlari birinchi darajali xam bo’lishi mumkin).

Faraz qilaylik, lar mos ravishda tenglamalarning ildizi bo’lib, x₁ esa f(x)=0 tenglamaning biror ildizi bo’lsin. Endi ni olib, P maydon elementlari yorda­mida ulardan mumkin bo’lgan

ratsional ifodalarni tuzib chiqamiz. Agar x₁, ildizni larning birortasiga tengligini ko’rsata olsak, qo’yilgan masala yechilgan bo’ladi. Chekli kengaytmalar mavzusidan bilamizki, ifodalar to’plami bizga kengaytma maydonni berar edi.

P maydon ustida algebraik bo’lgan a₁ elementning minimal ko’pxadi bo’lib, bo’lsin.

U xolda maydon P ning k₁ darajali kengaytmasi bo’lib, bo’ladi.

Endi P₁(a) da keltirilmaydigan biror k₂ daraja­li ni olib, son uning ildizi bo’lsin deb fa­raz qilamiz. Unda kengaytmani tuzsak
bo’ladi. Umuman, P_i =P_i-1(a_i ) deb faraz qilib, kengaytmani tuzamiz.

Endi maydonda keltirilmaydigan va ildizi a_i ga teng bo’lgan k_i darajali biror kupxadni olamiz. U xolda xosil bo’ladi. Oldingi natijalarga binoan

(3)

hosil bo’ladi. Yuqoridagi usulda tuzilgan

_{, ,…, (4)}

tenglamalar ketma-ketligi x₁ ni a_i lar orqali ratsio­nal ifodalovchi tenglamalar zanjiri deb yuritiladi. Ushbu

_{, ,…,} (5)

ko’pxadlarga esa kupxadning x₁ ildizi uchun ko’­yilgan masalani hal etuvchi zanjirsimon ko’pxadlar deyiladi.