O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

Teorema. Biror keltirilmaydigai ko’pxadning x₁ ildizi uchun xosil qilingan xal etuvchi zanjirsimon funksiyalarning darajalari ko’paytmasi ko’pxadning darajasiga bo’linadi.

Isboti. Faraz qilaylik, x₁ son P maydonda kel­tirilmaydigan l-darajali kupxadning ildizi bo’lsin. U holda x₁ element yordamida hosil qilingan kengaytma P maydonning l-darajali chekli kengaytmasi bo’ladi, ya’ni

Ikkinchi tomondan, agar (5) ketma-ketlik x₁ ildizni hal etuvchi zanjirsimon funksiyalar bo’lsa,

bo’ladi. Bundan P_r maydon P(x) uchun kengaytma may­don ekanligi kelib chiqadi. desak, bo’lganidan P_r, maydon P uchun ham chek­li kengaytma bo’ladi va

(6)

bajariladi. Ikkinchi tomondan, (3) tenglikka binoan (6) ni kuyidagicha yozamiz:

(7)

teorema isbot etildi.

Endi biz yuqori darajali tenglamalarni kvadrat radikallarda yechilish masalasiga qaytamiz.

Teorema. Faraz qilaylik, f(x) ko'pxad P maydonda keltirilmaydigan bo’lsin

(8)

Tenglama kvadrat radikallarda yechilishi uchun ko’pxadning darajasi 2^k ko’rinishdagi son bo’lishi zarur.

Isboti. Faraz qilaylik, (8) tenglama kvadrat radikallarda yechiladigan bo’lsin. U holda bu tenglama uchun xa biri ikkinchi darajali bo’lgan ikkixadli xal etuvchi zanjirsimon tenglamalar mavjud bo’ladi. Bunday xal etuvchi zanjirsimon ikkixadlarning barchasi ikkinchi darajali bo’lganidan

shart bajariladi. Zanjirsimon ikxadlar darajalari ko’paytmasi esa

(9)

Ko’rinishda bo’ladi. 1-teorsmaga asosan 2^r son ga bo’linishi kerak. Shuning uchun ko’rinishda bo’ladi. Teorema isbot etildi.

1-natija. Agar =3 bo’lsa, tenglama kvadrat radikallarda yechilmaydi.

Xaqiqatdan, 3 sonini 2^k shaklda yozib bo’lmaydi. Suuning uchun tenglamani kvadrat radikallarda yechilishining biz yuqorida ko’rib o’tgan zaruriy sharti bajarilmaydi.

2-natija. Koeffitsientlari P maydonga tegishli bo’lgan uchinchi darajali tenglamani kvadrit radikal­larda yechilishi uchun uning birorta ildizi P ga tegishli bo’lishi zarur va yyetarli.

Isboti. Agar uchinchi darajali ko’pxad keltiriladigan bo’lsa. u xolda kupaytuvchilardan biri shaklda bo’lib, bu erda dir. ko’pxadning ildizi bo’ladi.