O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

Teorema. Agar

(11)

tenglama xaqiqiy koeffitsientli tonglama bo’lib bo’lsa u xolda quydagi muloxazalar o’rinli bo’ladi:

1. 
   agar bo’lsa, (11) tenglama bitta xaqiqiy va ikkita, uzaro qo’shma mavhum ildizlarga ega bo’ladi;
   
2. 
   agar bo’lsa, (11) tenglamaning barcha ildizlari xaqiqiy va kamida bitta ildizi karrali bo’ladi;
   

c) agar bo’lsa, (11) tenglamaning barcha ildizlari xaqiqiy va turlicha bo’ladi.

Isboti. a) bo’lsa, u holda z₁ va z₂ ildizlar xaqiqiy va xar xil bo’ladi, Demak, ildizlardan kamida bittasi, masalan z₁ noldan farqli bo’ladi. son z₁, ning arifmetik ildizi bo’lsin. Shuning uchun u xaqiqiy son bo’ladi. tenglikka asosan, v xam xaqikiy son bo’ladi bo’lgani uchun bo’ladi. Bundan munosabat o’rinli ekanligi ravshan. (10) ga asosan esa

(12)

bo’lib, u va v xaqiqiy xamda turli sonlar bo’lgani uchun (12) da x₁ xaqiqiy, x₂ va x₃ lar o’zaro qo’shma mavxum sonlar bo’ladi.

b) bo’lsin. Agar va bo’lsa, u xolda bo’ladi.

son ning arifmetik ildizi bo’lsin. xaqiqiy son bo’lgani uchun xaqiqiy son bo’ladi, ya’ni bo’ladi.

(12) formulaga asosan bo’ladi. Shunday qilib, bo’lganda, (11) tenglama uchta xaqiqiy ildizga ega va ulardan bittasi karrali bo’ladi.

Agar va q=0 bo’lsa, u xolda p=0 bo’ladi. Bu xolda (11) tenglama x³=0 ko’rinishda bo’lib, x₁= x₂=x₃ = 0 bo’ladi.

c) bo’lsin. U xolda bo’ladi. Demak, z₁, va z₂ sonlar o’zaro qo’shma mavxum sonlar ekan. Shuning uchun

(13)

va

(14)

munosabatlar o’rinli.

(6) va (8)ga ko’ra

(15)

bo’lgani uchun (13) va (15) dan bo’lib bundan

(16)

kelib chiqadi. (14) ga asosan munosabat xam o’rinlidir. (6) ga asosan bo’lib bundan kelib chiqadi.

(16) ga ko’ra

(17)

tenglik bajariladi. (15) (17) larga asosan

Yani

(18)

tenglik o’rinli.

(12) formuladagi v ni bilan almashtirsak va etiborga olsak, x_1, x₂ va x₃ ildizlar xaqiqiy va xar ail ekani ma’lum bo’ladi. Xaqiqatdan , (12) formuladan kelib chiqadi. Faraz qlaylik x₁₌x₂ bo’lsin. U xolda (9) ga asosan bo’lib, bundan kelib chiqadi.

Bundan va tengliklar kelib chiqadi. Bu asa shartga qarama-qarshi.