O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

Teorema. Koeffitsientlari maydonga te­gishli ko’pxad uchun kengaytma normal kengaytma bo’lsa, u lolda tenglama kvadrat radikallarda yechilishi uchun bo’lishi zarur va yetarlidir.

Isboti. 1. Zaruriylik sharti. Faraz qilaylik (1) tenglama (2) kabi tenglamalar zanjiriga keltirilgan bo’lsin. U xolda yuqoridagi kabi ikki xol bo’lishi mumkin:

a) larning barchasi birinchi darajali. Bunday xolda birinchi darajali tenglamalarning ildizlarini ga kiritish bilan bu maydon o’zgarmaydi, ya’ni bu holda bo’lgani uchun bo’ladi.

b) lar orasida darajasi ikkidan kichik bo’lmagan kupxad mavjud bo’lsa, u xolda ning shu ga nisbatan 2ⁿ darajali kengaytmasi xisoblangan P₁ kengaytma mavjud bo’ladi. U xolda darajaga daraja bo’linadi. Bundan ekanligi kelib chiqadi.

2. Yetarlilik sharti. Endi deb olib, ni kabi tenglamalar zanjiriga kelishini ko’rsatamiz.

Bunda kuyidagi uch xol bo’ladi:

1) Bunda bo’lgani uchun ko’pxadlarning barchasi birinchi darajali bo’ladi. O’z-o’zidan ma’lumki, bunday xolga =0 tenglamalarning ildizlari P maydonga tegishlidir.

2) bo’lganda bo’lib, ning normasi, ya’ni Q maydon ga koeffitsientlari shu maydonga tegishli bo’lgan kvadrat tenglamaning ildizini kiritishdan xosil bo’ladi. Bunday xolda =0 zanjirdagi xar bir tenglamaning darajasi albatta ikkidan yuqori bo’lmaydi.

3) bo’lsin. U xolda bo’lib, ning shu ga nisbatan ikkinchi darajali P₁ ken­gaytmasi mavjud bo’ladi. Bu kengaytma uchun bo’ladi.

Endi o’rniga ni olaylik. Unda ₁ va Q orasida shunday P₂ kengaytma mavjudki, uning uchun bajariladi, ya’ni P₂ kengaytma P₁

ga nisbatan ikkinchi darajali bo’ladi. Bu jarayonni davom ettirib, xar bir keyingisi oldingisi uchun ikkin­chi darajali bo’lgan

chekli kengaytmalar ketma-ketligiga erishamiz. Natijada tenglamaning xar biri ikkinchi da­rajali bo’lgan tenglamalar zanjirnga keltirilganiga ishonch xosil silamiz.