O’zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta’lim vazirligi b qo’lyozma huquqida udk

Isbot: Agar biz lar Gelder bo’yicha ko’rinish bilan uzluksizligini talab qilsak , (2.37) , (2.38) baholashlar yanada yaxshilanadi , ya’ni aniqlik ga teng bo’ladi.
(2.37) tenglik ishboti quyidagi yordamchi

lardan kelib chiqadi.
Haqiqatdan ham

Xuddi shunday o’xshash ikkinchi yordamchi tenglik ham isbotlanadi.
(2.3) ni hisobga olgan holda ning yetarlicha qiymatlarida

tengsizliklar bajariladi.
deb tanlab (2.37) ning isbotini olamiz. (2.38) tengsizliklarni isbotlaymiz.

Xuddi shunga o’xshash
lardan
lar olinadi.
Bundan

olinadi.
Olingan ifodada oldin olingan baxolashlardan foydalansak , (2.38) ning isbotini olamiz.

ekanligini isbotlash uchun qiyin ish emas.
Bu olingan natijalar asosida quyidagi teoremani olamiz.
Teorema 2.5. (2.3) shartlar bajarilgan bo’lib , va lar ko’rsatkich bilan Gelder shartini qanoatlantirsin. U holda ning yetarlicha kichik qiymatlarida m rangli (2.29) “qirqilgan” ayirmali sxema aniqlikka ega bo’ladi. Ya’ni
(2.39)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Bunda fazoning ayirmali analogi.

Isboti: (2.1) , (2.2) chegaraviy masalaning aniq yechimi bo’lsin. - esa (2.29) m-rangli “qirqilgan” ayirmali sxema bo’yicha topilgan yechim bo’lsin.
deb , aniq ayirmali sxemada deb , ya’ni u ning qiymatini

aniq ayirmali sxemaga qo’yib z – ga skalyar ko’paytirib, Koshi – Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib

ni hosil qilamiz. Bu erda har doim to’g’ri bo’lgan tenglikdan foydalanib,

ni hosil qilamiz.
Natijada ni hosil qilamiz.
Bundan esa

tengsizlikni aniqlaymiz.
Olingan natijalarga asoslanib , quyidagi teorema o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Teorema 2.6 Agar (2.3) shartlar bajarilib , da Lipshits shartini qanoatlantirsa , h – ning yetarlicha kichik qiymatlarida , (2.1) , (2.2) chegaraviy masala uchun qurilgan “qirqilgan” m - rangli (2.29) ayirmali sxema aniqlikka ega bo’ladi.
Ya’ni

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Teoremaning isbotini olich uchun ilgari olingan hamma baholashlarda deb olish kerak. Chunki dan Gelder shartidan Lipshis sharti kelib chiqadi.
Isbot 1. m- rangli “qirqilgan” sxema yaqinlashish tezligini tekshirganda maxsusulik bo’lmagan holdagiga nisbatan tezlikning ikki marta kamligi kelib chiqadi. Bunday effektning mavjudligi [ ] da ham ko’rsatilgan.
Isbot 2. Yuqori rangli “qirqilgan” sxemalar bilan ishlaganda dan bog’liq bo’lgan ko’p karrali integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi.
Bu muammoni quyidagicha yengish mumkin har bir kesmaning o’rta nuqtasi da (agar bo’lsa da) integral ostidagi funksiyani Teyler qatoriga yoyamiz va qatorning m tertibli hosilasigacha bo’lgan qismini olamiz. Bunda m- “qirqilgan” ayirmali sxema rangi.
Endi notekis qadamli maxsus to’rdan m-­ rangli “qirqilgan” ayirmali sxema aniqligini baholaymiz. Ma’lumki , ayirmali sxema aniqligini oshirish maqsadida shunday maxsusu tengmas qadamli to’r tanlangan edi.
Xuddi teng qadamli to’rda bo’lgani kabi. nuqtada bunda
Formulalar bo’yicha mahalliy local koordinatalarga o’tamiz va
shablon funksiyalarni ko’phadlar bilan almashtiramiz:


Uch nuqtali aniq ayirmali sxemani va lar orqali yozamiz

(2.40)
Bunda


va lar quyidagi Koshi masalalarning yechimlari bo’ladi.






(2.41) , (2.42) Koshi masalalari yechimlari
(2.43)
qatorlar ko’rinishida ifodalash mumkin.
Bunda , lar quyidagi rekurent formulalar yordamida topiladi.




qatorning absalyut yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz.

dan va (2.3) dan
va

Shunday qilib


Matematik induksiya metodidan foydalanib

tengsizlikni isbotlash mumkin. Bizga oson isbotlanadigan
(2.44)
Tengsizlik kerak bo’ladi larning normalari uchun olingan baholashlardan foydalanib , qatorni baholaymiz.
kvadrat qavs ichida joylashgan qator bo’lganda yuqoridan

qator bilan chegaralangan bu qatorning yig’indisi

funksiyaga teng.
funksuya da o’suvchi funksiya bo’ladi.
Bundan
va
Xuddi shunga o’xshash

tengsizlik ham isbotlanadi.
Natijada

qatorlar yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Agar (2.43) da m- ta qo’shiluvchi bilan cheklansak , ya’ni bu qatorlar o’rniga

ko’phadlar bilan cheklansak
(2.45)
Ayirmali sxemani olamiz. Bu ayirmali sxemaga tengmas qadamli to’rda m- rangli “qirqilgan” ayirmali sxema deyiladi.
Bu yerda



Uch nuqtali “qirqilgan” m- rangli ayirmali sxema yaqinlashish tezligini baholash uchun funksiyalar xossalalrini o’rganamiz. Faqat xossalarni isbotlaymiz lar xossalari esa shunga o’xshash isbotlanadi.
Lemma 2.10: (2.3) shartlar bajarilgan bo’lib bo’lsin. U holda shunga topiladiki bo’lganda
(2.46)
(2.47)
(2.48)
(2.49)
Isbot: (2.46) tengsizlik ilgari isbotlangan edi. (2.47) tengsizlik esa quyidagicha
isbotlandi.
(2.48) , (2.49) tengsizliklar xuddi teng qadamli to’rda bo’lgani kabi isbotlanadi.
Agar


belgilashlar kiritsak

uchun quyidagi
(2.50)
(2.51)
(2.50) tengsizlikni isbotlaymiz.

Agar bo’lsa , kvadrat qavslardagi ifoda yuqoridan chegaralangan bo’ladi.
Xuddi shunday

bu yarda

Agar bo’lsa va natijada tengsizlik osonlik bilan isbotlanadi. (2.51) tengsizlik esa xuddi shunga o’xshash isbotlanadi.
to’rda quyidagi

skalayr ko’paytmalarni kiritamiz.
Bunda

Quyidagi lemma o’rinlidir.
Lemma 2.11: (2.3) bajarilgan bo’lib , bo’lsin. U holda shunday mavjud bo’ladiki, bo’lganda
(2.52)
(2.53)
(2.54)
Isbot: Agar da ko’rsatkich bilan Gelder bo’yicha uzluksiz bo’lsa (2.53) , (2.54) tengsizliklarda aniqlik yanada oshadi.
Isbot: (2.52) tengsizliklar isboti.

dan kelib chiqadi.

Bu olingan tengsizlklarn qo’shib , deb , (2.52) isbotini olamiz. Endi (2.53) ni isbotlaymiz

bo’lganidan.


Lardan foydalanib,

Ilgari olingan hisoblashlardan foydalanib (2.54) tengsiuzliklardan birinchisini isbotlaymiz. Bu tengsizliklardan ikkinchisi ham xuddi shunga o’xshash isbotlanadi.
Bunda integral o’zida qatnashgan o’rniga qatnashadi. Olingan natijalardan foydalanib , tengmas to’rda qurilgan m- rangli “qirqilgan” ayirmali sxema aniqligini baholash mumkin. Quyidagi teorema o’rinlidir.
Teorema 2.6: (2.3) shartlar bajarilgan bo’lib , bo’lsin va lar ko’rsatkich bilan Gelder bo’yicha uzluksiz bo’lsin u holda shunday topiladiki , bo’lganda (2.45) m- rangli “qirqilgan” ayirmali sxema aniqlikka ega bo’ladi. Ya’ni
(2.55)
Tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bunda - fazoning tengmas qadamli hol uchun o’xshatmasidir.

Isboti: (2.1) , (2.2) chegaraviy masalaning ani yechimi bo’lsin y(x) – (2.45) “qirqilgan” ayirmali sxema yechimi bo’lsin . deb ni tengmas qadamli to’r uchun tuzilgan aniq ayirmali sxemaga qo’yib , hatolik uchun quyidagi


ayirmali sxemani olamiz. Bu olingan ifodani z ga skalyar ko’paytirib Koshi – Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib, enargetik tengsizlilar usulidan foydalanib, quyidagi natijalarni olamiz.


Bu olingan ifodada muqarrar tengsizlikdan foydalanib

bunda oxirgi tengsizlikdan
yoki o
linadi teorema to’liq isbotlandi.
Isbot: yuqori rangli ayirmali sxemalar bilan ishlaganda , ko’p karrali integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi.
Bu qiyinchilikni bartaraf etish uchun integrallash oralig’ini o’rta nutasida integral o’zidagi funksiyani Teylor qatoriga yoyib m- rangli “qirilgan” ayirmali semadan foydalanganda m- ta qo’shiluvchi olamiz.
Natijada hisoblangan integral talab qilingan aniqlikni beradi.