O’zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta’lim vazirligi b qo’lyozma huquqida udk

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
B
Qo’lyozma huquqida
UDK 681.3.06:004.42
UXORO DAVLAT UNIVERSITETI


Fizika-matematika fakul’teti
“Amaliy matemarika va axborot texnologiyalari” kafedrasi


Shadmanov Istam O`ktamovich


Mavzu: « Maxsus to’rda qurilgan ayirmali sxema yordamida chegarada buzuluvchi differensial masalani yechish»
5А130202- Amaliy matematika va axborot texnologiyalari
Magistr akademik darajasini olish uchun yozilgan dissertatsiya


MAGISTRLIK DISSERTATSIYASI


Buxoro – 2012
Mundarija

Kirish 3
I Bob. Ayirmali sxemalar haqida umumiy ma’lumot. 11
1.1 Aniq ayirmali sxema va uni qurish usuli. 11
1.2 Shablon funksiyalar va ularning xossalari. 13
1.3 Teng va tengmas qadamli to’rlarda “qirqilgan” ayirmali sxemalarni qurish. 16
I Bob bo`yicha xulosasi. 20
II Bob. Maxsuslikga ega bo’lgan chegaraviy masalalar uchun ayirmali sxemalar. 21
2.1 Maxsuslikga ega bo’lgan differentsial masalalar uchun ayirmali sxemalar qurish. 21
2.2 Maxsus to’rda maxsuslikga ega bo’lgan differentsial masala uchun qurilgan yuqori aniqlikdagi ayirmali sxemalar. 28
2.3 Maxsuslikga ega bo’lgan differentsial masala uchun “qirqilgan” ayirmali sxemalar qurish va uning yaqinlashish tezligini tahlil qilish. 34
II Bob bo`yicha xulosasi. 53
III bob. Ayirmali sxemalarni amalda qo’llanishi. 54
3.1 Nolinchi va birinchi rangli ‘qirqilgan’ ayirmali sxemalar. 54
3.2 Nolinchi va birinchi rangli ‘qirqilgan ’ ayirmali sxemalar aniqligini amaliy tasdig’i. 59
III Bob bo`yicha xulosasi. 67
Xulosa 68
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati. 69

Kirish

Respublikamizda olib borilayotgan islohotlarning tarkibida yuqori malakali mutaxasislarning roli benihoyat kattadir. Prezidentimiz ta’kidlaganidek, “Ertangi kun yangicha fikrlay oladigan zamonaviy bilimga ega bo’lgan yuksak malakali mutaxasislarni talab etadi”. Shu sababli xalqimizning boy intelektual merosi va umumbashariy qadriyatlari, zamonaviy madaniyat, iqtisodiyot, fan, texnika va texnologiyalar asosida yuksak mutaxasislar tayyorlash tizimi ishlab chiqildi va jadal sur’atlar bilan hayotga tadbiq etilmoqda.
Prezident I.A.Karimov tashabbusi bilan qabul qilingan “Ta`lim to`g`risida”gi qonun va Kadrlar tayyorlash Milliy dasturi ta`limning yangi milliy modelini yaratilishiga asos bo`ldi. Milliy modelning asosiy maqsadi ta`lim sohasini isloh qilish, mutaxassislar tayyorlashning yangi tizimini joriy etish va ta`lim sifatini hozirgi zamon talablari darajasiga ko`tarishdir. Ushbu maqsadni bitta qonun yoki farmonlar bilan amalga oshirib bo`lmaydi. U mashaqqatli mehnat va izlanishlarni talab qiladi.
Respublikamizdagi mustaqil huquqiy demokratik va erkin fuqarolik jamiyati qurish yo’lidagi ulkan ishlar inson mohiyatini kashf etishda, uning o’zligini anglashda imkoniyatlarini ro’yobga chiqarishda va manaviy intellektual, aqliy amaliy rivojlanishi uchun yangi shart-sharoitlar yaratib beradi, bu o’z navbatida insoniyat yaratgan manaviy ilmiy boyliklarga, insonning o’ziga yangicha munosabat, yondashuvni yuzaga keltirdi. Zero, prezidentimiz I.A. Karimov aytganlaridek: “Fuqarolar endi ijtimoiy-iqtisodiy jarayonlarni ishtirokchisi, bajaruvchisi emas, balki bunyodkori va tashkilotchisidir”.
Ta`lim sifatini oshirish bugungi kunning asosiy vazifalaridan biridir, chunki bugungi kunda insoniyat rivojlanishi shunday bosqichga etib bordiki, bu bosqichda inson aql-zakovati, bilimi va uning mutaxassis sifatidagi malakasi hal qiluvchi rol’ o`ynaydigan bo`lib qoldi.
Ma’lumki, matematik metodlar qo`llanib yechiladigan amaliy masalalarning matematik modellari algebraik tenglamalar sistemasi, differensial tenglamalar yoki integral tenglama ko`rinishida bo`lishi mumkin. Aksariyat hollarda bunday masalalarning aniq yechimlarini topib bo`lmaydi. Bunday hollarda masalani taqribiy yechish metodlari, ya’ni sonli metodlar qo`llaniladi.
Differensial va integral tenglamalarni taqribiy yechishning universial metodlaridan biri bu ayirmali metod, yoki chekli ayirmali usuldir.
Qo`yilgan masalani yechishda bu metodni qo`llash quyidagi ikkita etapni o`z ichiga oladi:
1) Masalaning yechimi izlanayotgan soha nuqtalarning chekli to`plami, ya’ni to`r bilan qoplanadi. To`rni tanlash qo`yilgan masalaga bo`g`liq bo`lib, muhim ahamiyatga ega.
2) Differensial tenglama va boshlang’ich yoki chegaraviy shartlarga kiruvchi funksiya hosilalari ularning ayirmali analoglari, ya’ni ayirmali hosilalar bilan almashtiriladi. Ayirmali hosila uchun qaysi formulani tanlash masalaning taqribiy yechimini qanday aniqlikda topish talab qilinganidan bog`liq.
Buning natijasida diffferensial tenglama uchun qo`yilgan chegaraviy masalani yechish, yechim funksiyaning to`r tugunlaridagi qiymatlariga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish masalasiga keltiradi.
Hosil qilingan algebraik tenglamalar sistemasiga ayirmali sxema deyiladi.
Har bir ayirmali sxemani qurganda quyidagi savollarga javob izlash kerak.

1. 
   Ayirmali sxemaning approksimatsiya tartibini aniqlash.
   
2. 
   Ayirmali sxemaning turg`unligini tekshirish.
   
3. 
   Ayirmali sxemaning yaqinlashish tezligini baholash.
   

Fraz qilaylik, yyechilayotgan differensial masala
ko`rinishda yozilgan bo`lsin, unga mos ayirmali masala ko`rinishga ega bo`lsin.
Ta’rif.1. Agar , tengsizlik bajarilsa, ayirmali sxema differensial operatorni k- tartib bilan approksimatsiya qiladi deyiladi.
Ta’rif.2. Agar berilgan differensial teglama uchun qurilgan ayirmali sxemada koeffitsentlar va o’ng tomon kichik miqdorga o’zgartirilganda ayirmali sxema yechimi ham kichik songa o’zgarsa, bunday ayirmali sxemaga koeffitsentlar va o`ng tomonga nisbatan turg`un ayirmali sxema deyiladi.
qo`yilgan differensial masalaning aniq yechimi, esa uning ayirmali sxema yordamida topilgan taqribiy yechimi bo`lsin.
.
Ta’rif.3. Agar , bo`lsa ayirmali masalaning yechimi differensial masala yechimiga yaqinlashadi deyiladi.
Agar bo`lsa, ayirmali masala yechimi, differensial masala yechimiga h ga nisbatan m-tartib bilan yaqinlashadi deyiladi.
XX asrning 60-yillarida hisoblash amaliyotida qo`llana boshlangan ayirmali metod, katta xotira hajmiga va yuqori tezlikka ega bo`lgan kompyuterlarning paydo bo`lishi bilan misli ko`rilmagan sur’atlar bilan rivojlandi.
Bugungi kunda ayirmali sxemalar nazariyasi hisoblash usullari fanining eng katta yo`nalishlardan biri hisoblanadi.
Ayirmali sxemani turli usullar bilan qurish mumkin.
Differensial tenglamaga kiruvchi hosilalarni bevosita ayirmali hosilallar bilan almashtirish, noma’lum koeffisentlar metodi, integro-interpolyatsion metod shular jumlasidandir.
O`tgan asrning 60-yillarida akademiklar A. N. Tixonovlar tomonidan ayirmali sxema qurishning yangi bir usuli, aniq ayirmali sxemalar qurish uslubiyoti taklif etildi.
Bu usul bilan qurilgan ayirmali sxemaning yechimi har qanday to`r tugunlarida unga mos kelovchi differensial masalaning aniq yechimi qiymati bilan mos tushadi.
Aniq ayirmali sxema quyidagi afzalliklarga ega: birinchidan berilgan differensial masalaning yechimi mavjud va yagona bo`ladigan holda ayirmali sxemani qurish mumkin bo’ladi. Ikkinchidan berilgan differensial masala uchun qurilgan ayirmali sxema shu masala uchun qurilgan boshqa ayirmali sxemalar oilasi uchun etalon bo`lib xizmat qiladi. Aniq ayirmali sxemaning koeffitsientlari cheksiz qatorlar yordamida ifodalangani uchun bu ayirmali sxemadan hisoblash amaliyotida foydalanib bo`lmaydi.
Amalda foydalanish mumkin bo`lishi uchun bu cheksiz qatorlarda m-tadan qo`shiluvchi olib, m-rangli “qirqilgan” ayirmali sxemalarni hosil qilamiz.